Последовательности 2011 Васильева Е.Е.

Продолжи ряд 1)1, 2, 3, 4, 5, 6 2)12, 10, 8, 6, 4 3)6, 9, 12, 15, 18, 21 4)2, 4, 8, 16, 32 5)1, 4, 16

Дни недели Классы В школе Дома на улице Квартиры в доме Номера счетов в банке Название месяцев

В порядке возрастания положительные нечетные числа В порядке убывания Правильные дроби с числителем, равным 1 В порядке возрастания положительные числа, кратные7 В порядке убывания положительные двузначные числа 7;14;21;28… 99;98;97… 1;3;5;7;9…

Определение Функцию y=f(x), определенную на множестве натуральных чисел xN (или его конечном подмножестве), называют числовой последовательностью и обозначают y=f(n), или y 1,y 2,…,y n,…. или (y n ).

Числа y 1, y 2, …, y n называют членами последовательности, а член с номером n – ее n-членом, его еще называют общим членом.

a1a1 a2a2 a3a3 a4a4 … anan Первый член Второй член Третий член Четвертый член n-член последовательности

Задать числовую последовательность это значит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им места.

Способы описания последовательности Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический словесный рекуррентный

Формула 1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n-го члена: y n = f(n). Пример: y n = 2n – 1 Y1=2*1-1=1 Y2=2*2-1=2 Y3=2*3-1=5 Y4=2*4-1=7 Y5=2*5-1=9 последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, …. Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, ….

Рекурентный Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Пример рекуррентного задания Пример 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4, если n = 2, 3, 4,…. Здесь y1 = 3; y2 = = 7; y3 = = 11; ….

Графиком последовательности как функции, заданной на множестве натуральных чисел, являются отдельные, изолированные точки координатной плоскости y n =3n-2

Последовательности заданы формулами a n =n 4 a n =n+4 a n =2 n -5 a n =(-1) n n 2 a n = -n-2 a n =3 n Впишите пропущенные члены последовательности 1;___;81;___;625;…5;___;___;___;9 -1;4;___;___; -25;… -3; -4;___;___; -7… 2; 8;___;___;___... ___;-4;___;___;-7 2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей Положительные и отрицательные положительные отрицательные

По преданию, индийский царь Шерам, восхищенный остроумием шахматной игры, призвал к себе изобретателя шахмат Сету и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя ! Исполню любое твое желание…» Сета попросил положить на первую клетку доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т. д. Сколько нужно зерен ?

Среднеазиатский математик Бернулли получил верный ответ: зерен. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой в 2000 раз больше поверхности Земли.

ПРОТОРГОВАЛСЯ ЛИ КУПЕЦ ? Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец ска­зал, что цена велика, "Хорошо,-ответил продавец, если ты гово­ришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди на его подковах, а гвоздей на его каждой подкове по 6 штук, и будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй - две полушки, за третий 4 полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше чем предыдущий". Купец согласился, проторговался ли купец?

РЕШЕНИЕ: всего гвоздей 24 штуки, за все гвозди купец должен заплатить *2 + 2*2* *2*...*2 полушек 23 раза и того получаем рубля и 15 полушек.

Свойства числовых последовательностей Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство a n > a n – 1.

Пример Последовательность кубов натуральных чисел 1,8,27

УБЫВАЮЩАЯ Числовая последовательность называется убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, иными словами, если для всякого n > 1 верно неравенство a n < a n – 1.

Пример

Монотонность Вместе возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

Определить монотонность 1)-1,-4,-9,-16…. 2)-1,0,1,2…. 3)-1,1,-1,1

Ограниченность сверху Определение. Последовательность a1, a2, a3, … называется ограниченной сверху, если для ее такое число M, что неравенство a n

Пример 1,-1,-3,-5 Ограничена сверху М =1

Ограниченность снизу Определение. Последовательность a1, a2, a3, … называется ограниченной снизу, если для ее такое число m, что неравенство a n >m выполняется для всех номеров n.

Пример Ограничена и сверху и снизу М=1 M=0

Упражнение 1 Укажите номер функции, являющейся числовой последовательностью

Найдите первые пять членов последовательности заданной рекуррентно Y 1 =2 Y n =y n-1 +5 Упражнение 2

Упражнение 3

Упражнение 4 Укажите номер убывающей последовательности

Упражнение 5 Является ли ограниченной последовательность