ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА

Таблиця формул основних інтегралів

Площа плоскої фігури. Обчислення площі в декартових координатах Площа плоскої фігури. Обчислення площі в декартових координатах

Означення потрійного інтеграла: Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області тривимірного простору. Розібємо область на довільних частинних областей, які не мають спільних внутрішніх точок. Обєми областей позначимо позначимо, їх діаметри -. Діаметром області називається довжина найбільшої хорди, яка зєднує дві точки межі області. Візьмемо довільну точку, і знайдемо значення функції у точці. Вираз вигляду називається інтегральною сумою для функції по області. Позначимо через максимальний із діаметрів областей, тобто,. Якщо існує границя інтегральної суми за умови, що, тобто, яка не залежить від способу розбиття області а елементарні області та від вибору точок, то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області. Потрійний інтеграл позначається так:. Нехай функція визначена в замкненій обмеженій області тривимірного простору. Розібємо область на довільних частинних областей, які не мають спільних внутрішніх точок. Обєми областей позначимо позначимо, їх діаметри -. Діаметром області називається довжина найбільшої хорди, яка зєднує дві точки межі області. Візьмемо довільну точку, і знайдемо значення функції у точці. Вираз вигляду називається інтегральною сумою для функції по області. Позначимо через максимальний із діаметрів областей, тобто,. Якщо існує границя інтегральної суми за умови, що, тобто, яка не залежить від способу розбиття області а елементарні області та від вибору точок, то ця границя називається потрійним інтегралом від функції по області. Потрійний інтеграл позначається так:.

Обчислення площ у декартових координатах Якщо плоска фігура (див. рис. 2.21) обмежена прямими лініями x = a, x = b ( a < b) і кривими лініями y = f (x),y = g (x), причому f (x) g (x) на [a, b], то для відшукання її площі S потрібно з площі фігури під кривою f (x) відняти площу фігури під кривою g (x). Використавши пяту властивість визначеного інтеграла, одержимо:.

Площа фігур обмеженої лініями У підсумку шукана площа S може бути знайдена за формулою:. Приклад. Обчислити площу фігури (див. рис. 2.22), яка обмежена лініями: Розвязання. Із системи рівнянь знаходимо абсциси точок перетинання ліній: У підсумку шукана площа S може бути знайдена за формулою:. Приклад. Обчислити площу фігури (див. рис. 2.22), яка обмежена лініями: Розвязання. Із системи рівнянь знаходимо абсциси точок перетинання ліній: Рівняння даних ліній можна навести на рис Отже, шукана площа S фігури знаходиться на осі х між точками х1 і х2, на осі y – між першою і другою лініями, тому: Рівняння даних ліній можна навести на рис Отже, шукана площа S фігури знаходиться на осі х між точками х1 і х2, на осі y – між першою і другою лініями, тому:

Властивості визначеного інтеграла Властивість ВластивістьФормула 1 При перестановці границь інтегрування знак інтеграла змінюється на зворотній 2 Інтеграл з однаковими границями дорівнює нулю 3Відрізок інтегрування можна розбивати на частини (див.c [a, b]) 4 Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від функцій-доданків 5 Постійний множник можна виносити за знак інтеграла

Застосування інтеграла I. У фізиці. Робота сили (>A=FScosa,cosa 1)Коли частку діє сила F, кінетична енергія іншого постійної. І тут відповідно до >d(mu2/2) =Fds прирощення кінетичною енергії частки під часdt односкалярному творуFds, деds – переміщення частки під часdt. Величина >dA=Fds називається роботою, чиненої силою F. Нехай точка рухається по осі ОХ під впливом сили, проекція чим вісь ОХ є функціяf(x) (>f–непреривная функція). Під впливом сили точка перемістилася з точкиS1(a) вS2(b).Разобьем відрізок [>a;b] на n відрізків, однаковою довжиниDx = (b –a)/n. Робота сили дорівнюватиме сумі робіт сили на отриманих відтинках.Т.к.f(x) –безупинна, то, при малому [>a;x1] робота сили у цьому відрізку дорівнюєf(a)(x1– a). Аналогічно другою відрізкуf(x1)(x2–x1), наn-ом відрізку f(xn–1)(b–xn–1). Отже робота на [>a;b] дорівнює: А »An =f(a)Dx +>f(x1)Dx+...+f(xn–1)Dx= ((>b– a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f(xn–1)) Приблизний рівність перетворюється на точне приn® b А =lim [(>b–a)/n] (f(a)+...+f(xn–1))=f(x)dx (з визначення) >n® a Приклад. Нехай пружина жорсткості З повагою та довжини l стиснута наполовину свій довжини. Визначити величину потенційної енергіїЕр дорівнює роботі A, чиненої силою –>F(s) пружність пружини при її стисканні, то >l/2 >Eп = A= – (–>F(s))dx 0 З курсу механіки відомо, щоF(s)= –>Cs. Звідси знаходимо >l/2l/2 >Еп= – (–>Cs)ds =CS2/2 | =C/2l2/4 0 0 Відповідь:Cl2/8. Координати центру мас Центр мас – точка якою проходить рівнодіюча сил тяжкості незалежно від просторовому розташуванні тіла. Нехай матеріальна однорідна пластина про має форму криволінійної трапеції {>x;y |>axb;0yf(x)} й третя функціяy=f(x) безупинна на [>a;b], а площаетойкриволинейной трапеції дорівнює P.S, тоді координати центру мас пластини про знаходять по формулам: b b>x0 = (>1/S) xf(x)dx;y0 = (>1/2S)f2(x)dx; a a Приклади. Центр мас. Знайти центр мас однорідної півкола радіуса R. >Изобразимполукруг у системі координатOXY. Із міркувань симетрії і однорідності помічаємо, що абсциса точки M >xm=0 Функція, яка описувалаполукруг має вигляд: y =(R2–x2) Нехай P.S =pR2/2 площа півкола, тоді R R y = (>1/2S)(R2–x2)dx = (>1/pR2)(R2–x2)dx = –R –R R = (>1/pR2)(R2x–x3/3)|=4R/3p R Відповідь:M(0;4R/3p ) Шлях, пройдений матеріальної точкою Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно зі швидкістюu=u(t) і поза час T=t2–t1 (>t2>t1) пройшла цей шлях P.S, то >t2 >S=u(t)dt. >t1 У геометрії Обсяг кількісна характеристика просторового тіла. За одиницю виміру обсягу приймають куб з руба1мм(1ди, 1 м тощо.). Кількість кубів одиничного обсягу розміщених у даному тілі обсяг тіла. Аксіоми обсягу: Обсяг ценеотрицательная величина. Обсяг тіла дорівнює сумі обсягів тіл, які його складають. Знайдемо формулу для обчислення обсягу: виберемо вісь ОХ в напрямі розташування цього тіла; визначимо кордону розташування тіла щодо ОХ;введемо допоміжну функціюS(x)задающую таке відповідність: кожному x з відрізка [>a;b] поставимо у відповідність площа перерізу даної постаті площиною, що проходить через задану точку x перпендикулярно осі ОХ. розіб'ємо відрізок [>a;b] на n рівних частин 17-ї та через кожну точку розбивки проведемо площину перпендикулярну осі ОХ, у своїй наше тіло розіб'ється на частини. По аксіомі >V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)Dx +>S(x2)Dx+...+S(xn)Dx >n® >Dx®0, аSk®Sk+1, а обсяг частини, яка є між двома сусідніми площинами дорівнює обсягу циліндраVц=SоснH. Маємо суму творів значень функцій в точках розбивки на крок розбивки, тобто. інтегральну суму. За визначенням певного інтеграла, межа цієї суми приn® називається інтегралом a >S(x)dx B a V=S(x)dx, деS(x) – перетин площині, що проходить через b обрану точку перпендикулярно осі ОХ. Для перебування обсягу треба: 1). Вибрати зручним способом вісь ОХ. 2). Визначити кордону розташування цього тіла щодо осі. 3). Побудувати перетин даного тіла площиною перпендикулярно осі ОХ і що проходить через відповідну точку. 4). Висловити через відомі величини функцію, яка має площа даного перерізу. 5). Скласти інтеграл. 6).Вичислив інтеграл, знайти обсяг. Обсяг постатей обертання. Тіло, отриманий у результаті обертання пласкою постаті, щодо якийсь осі, називають постаттю обертання. ФункціяS(x) у постаті обертання є коло. >Sсеч =pr2 >Sсеч(x)=pf2(x) B V=f2(x) A Довжина дуги пласкою кривою Нехай на відрізку [>a;b] функція y =f(x) має безперервну похідну y =f (x). І тут довжину дуги l шматка графіка функції y =f(x),x[a;b] можна знайти за такою формулою B l =(1+f(x)2)dx a

Виконав учень 11 класу Чемерис Павло Чемерис Павло