y=log 2x-1 (x 2 - 2x-7) L o g l o g 2 2 x x x = c o s 3 0 x Логарифмические и показательные уравнения Методы решения

Exit Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Показательные уравнения Показательные уравнения Показательные уравнения Показательные уравнения

2) log a f(x) = log a g(x) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения log a x = b. 1) Простейшее логарифмическое уравнение Решением является x=a b f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)>0. f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)= g(x), f(x)>0.

3) log h(x) f(x) = log h(x) g(x) f(x) > 0, h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), g(x) > 0. h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), Потеря решений при неравносильных переходах log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x)

Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма Использование определения логарифма log a b = c b = a c Пример log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3 log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3 Решение Решение 5+3log 2 (x-3)=2 3 log 2 (x - 3) = 1 x=5

Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифма Использование свойств логарифма log a b = c b = a c Пример log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), Решение Решение О.Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24 x 2 + 2x - 24 = 0 x={-6;4} x(x+3)=x+24 x 2 + 2x - 24 = 0 x={-6;4} x>0 x>0 x=4 x=4

Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки Метод подстановки f(log a x)=0 t=log a x f(t)=0 f(t)=0Пример lg 2 x - 3lgx + 2 = 0 lg 2 x - 3lgx + 2 = 0Решение lg x = t lgx=1 t 2 -3t+2=0 lgx=2 x={10;100}

Пример 5 lg x = 25 5 lgx = 50 - x lg5 5 lgx = lgx 5 lg x = 25 x=100 x=100

Методы решения логарифмических уравнений Уравнения, содержащие выражения вида Уравнения, содержащие выражения видаПример Решение Решение log 2 (x+2)=t, t 2 -t-2=0.

Методы решения логарифмических уравнений Метод оценки левой и правой частей Метод оценки левой и правой частейПример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение Решение 1) 2x – x = – (x 2 – 2x – 15) = –((x 2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1) 2 ) 16 log 2 (2x – x ) 4. 2) x 2 – 2x + 5 = (x 2 – 2x + 1) – = (x – 1) ; log 2 (2x – x )=4, x 2 – 2x + 5 =4. x=1

Методы решения логарифмических уравнений Использование монотонности функций. Подбор корней. Использование монотонности функций. Подбор корней.Пример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение2x–x 2 +15=t, t>0 Решение2x–x 2 +15=t, t>0 x 2 –2x+5=20–t log 2 t=20-t y=log 2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x 2 +15=16, находим, что x=1

Показательные уравнения Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при некоторых постоянных основаниях. Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при некоторых постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида: Простейшим показательным уравнением является уравнение вида: где a и b – некоторые положительные числа (а 1), а х – некоторое алгебраическое выражение. где a и b – некоторые положительные числа (а 1), а х – некоторое алгебраическое выражение.

Способы решения некоторых простейших показательных уравнений 1., где, 2.3. Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнение второго вида. Для решения этого уравнения необходимо правую и левую часть привести к одному основанию. Далее идет решение, как в уравнение второго вида.

4. Производим замену:, Производим замену:,5. Решать сведением к квадратному уравнению Решать сведением к квадратному уравнению6. Однородное уравнение второго порядка Однородное уравнение второго порядка

1. Ответ: Решение уравнений из ЕГЭ

2.,,, Решение уравнений из ЕГЭ

3.

4.

Примеры 1., Ответ: Ответ:

Примеры 2. Ответ: x=1

3. а) б)

4.

Примеры 1. Ответ: Вариант 1.

2

1.Ответ: Вариант 2.

2 Произведем замену: Вариант 2.

Примеры(ДЗ) 1. а) Ответ: б) б) Прологарифмируем данное уравнение: Прологарифмируем данное уравнение: Ответ:

Примеры(ДЗ) 2. т.к. и не является корнем уравнения, то разделим на это выражение: т.к. и не является корнем уравнения, то разделим на это выражение: производим замену, производим замену,

не удовлетворяет условию у>0 => не удовлетворяет условию у>0 =>

3. Производим замену:

4 т.к. не является корн ем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на :

- не удовлетворяет ОДЗ

МОЛОДЦЫ !