ГОУ – основная общеобразовательная школа с углубленным изучением иностранного языка при Посольстве РФ в Дании Номинация: «Хочу все знать» Руководители проекта: Аверина Л.В., учитель математики Ушнов А.В., учитель физики. Автор проекта - Аверина Маргарита, ученица 8 класса.

Цель: познакомиться с изгибаемыми многогранниками и их свойствами _______________________________________ Задачи: -развивать пространственное мышление; -учиться работать с научным текстом; -учиться работать с графической информацией различного типа, создавать анимированные изображения. _______________________________________

План 1. Постановка задачи 2. Из истории проблемы 3. Модели изгибаемых многогранников 4.Гипотеза кузнечных мехов 5. Применение теории изгибаемых многогранников 6. Вывод _________________________________

Герберт Спенсер сравнивал процесс познания с расширяющейся сферой: внутренность сферы заполнена уже известными знаниями, точки вне сферы – те знания о которых у нас нет информации и, следовательно, не может возникнуть и вопросов, а вопросы можно задавать лишь в точках сферы, на границе знания и незнания… __________________________________ Вопрос об изгибаемых многогранниках – яркий тому пример

На первых уроках геометрии в 8 классе мы познакомились с многоугольниками и узнали, что они могут быть выпуклыми и невыпуклыми, и все они, кроме треугольника, нежесткие. А можно ли деформировать, изогнуть многогранник?

Многогранник называется изгибаемым, если деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения углов между гранями

В 1813 Огюстен Луи Коши опубликовал работу «О многоугольниках и многогранниках», в которой доказал, что никакой выпуклый многогранник не может быть изгибаемым. После знакомства с этой работой немецкий математик Феликс Клейн сказал: «По блестящим достижениям во всех областях математики Коши можно поставить почти рядом с Гауссом» Эта оценка очень весома, особенно если учесть, что взаимоотношения между французскими и немецкими математиками развивались в атмосфере острой конкуренции, и признание заслуг соперников никогда не отличалось щедростью. _______________________

Первые примеры невыпуклых изгибаемых многогранников были построены бельгийским инженером Раулем Брикаром в 1897 году. Эти модели имеют самопересечения, поэтому невозможно склеить их из бумаги.

Только в 1976 году американский математик Роберт Коннелли построил достаточно сложный изгибаемый многогранник без самопересечений.

Роберт Коннелли исследовал жёсткость, устойчивость и изгибаемость многогранников и каркасов. Он решил трудные проблемы об оптимальной упаковке кругов и о распрямлении ломаной линии. Открытию изгибаемого многогранника без самопересечений был посвящён доклад на Международном математическом конгрессе, который Коннелли сделал в Хельсинки в 1978 году. Одна из моделей изгибаемого многогранника находится в Национальном музее американской истории

Немецкий математик Клаусс Штеффен предложил модель с минимальным (9) количеством вершин. Утверждение, что 9 – минимальное количество вершин до сегодняшнего дня никто не сумел ни доказать, ни опровергнуть.

Модель Штеффена

Я попыталась склеить многогранник Штеффена Практика показала, что для модели нужно выбрать максимально плотный картон

Дж.М. Андреас и Р.М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников с 2n вершинами, 6n ребрами (из которых 2n сдвоенных) и 4n треугольными гранями Гранями служат грани n тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам противоположных ребер каждого, так что получается фигура наподобие кольца.

Если расположить числа от 1 до 32 так, как показано на чертеже, то четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; соответствующие грани, взятые по одной из каждого тетраэдра дают в сумме 132 (например, = 132) – то же самое получается для восьми наборов из восьми граней, которые спирально обвиваются вокруг кольца (например, = 132). Развертка для флексора при n=10

При n=6 фигура достаточно жесткая n=8 Фигура может изгибаться и поворачиваться n=10 На мой взгляд, это особенно красивый многогранник n=12 «Раскрыть» фигуру полностью не удается, при n>22 она заузливается

Очевидно, что в процессе вращения, объем флексоров не меняется. А меняется ли объем при деформации многогранника Штеффена? Роберт Коннелли назвал предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов».

Проведем эксперимент. Поскольку трудно сделать картонные модели герметичными, наполним два многогранника Штеффена мелкой солью. (Вторую модель предварительно изогнуть!) > < = Объемы оказались равными!

В 1996 году Иджад Хакович Сабитов, преподаватель МГУ им. М.В. Ломоносова, обобщил формулу Герона и формулу Тартальи для объема тетраэдра и доказал неизменность объема изгибаемых многогранников Герон Александрийский Тарталья (Niccolò Fontana Tartaglia) Сабитов И.Х.

Никколо Тарталья через длины ребер выразил объем тетраэдра: V 2 =1/144*(l 1 2 l 5 2 (l 2 2 +l 3 2 +l 4 2 +l 6 2 -l l 5 2 )+(l 2 2 l 6 2 (l 1 2 +l 3 2 +l 4 2 +l 5 2 -l l 6 2 )+(l 3 2 l 4 2 (l 1 2 +l 2 2 +l 5 2 +l 6 2 -l 3 2 -l 4 2 )-l 1 2 l 2 2 l 4 2 -l 2 2 l 3 2 l l 1 2 l 3 2 l 6 2 -l 4 2 l 5 2 l 6 2 )) По известной формуле Герона S можно выразить через длины его сторон следующим образом: S 2 =1/16(2a 2 b 2 +2a 2 c 2 +2b 2 c 2 -a 4 -b 4 -c 4 ) a bc l1l1 l2l2 l3l3 l4l4 l5l5 l6l6

Теорема Сабитова устанавливает связь между длинами рёбер любого, не обязательно выпуклого многогранника с треугольными гранями и его объёмом. Если у многогранника имеются многоугольные грани с числом сторон, превосходящим три, то их можно разбить диагоналями на треугольники. Существует такой многочлен одной переменной, что его коэффициенты зависят только от длин рёбер многогранника, а объём есть корень этого многочлена. Так как рёбра у изгибаемых многогранников не меняются, то и сам этот многочлен, а значит, и его корни не меняются при изгибании самого многогранника. При малых деформациях многогранника объём может меняться мало, поэтому не может резко перепрыгнуть из одного корня многочлена в другой. Значит, объём изгибаемых многогранников не меняется при их изгибаниях! ______________________________________

На одной из западных научных выставок произошел казус. Демонстрировалась модель "изгибаемого" многогранника, из которой при ее деформации со свистом выходил воздух так, что на ней можно было играть, как на гармони. Но позже выяснилось, что в математическом смысле модель неизгибаема, а ее "изгибания" - следствие растяжения материала. Были предприняты попытки опровержения теории о постоянстве объемов путём построения контрпримеров.

Изучая статью Александрова В.А. «Изгибаемые многогранные поверхности», я с удивлением узнала: некоторые выпуклые многогранники можно изогнуть по дополнительным ребрам (смять) так, что объем их при этом увеличится! _____________________________________________ Для примера возьмем пакет молока, имеющий изначально форму правильного тетраэдра (в 70-е годы именно такие пакеты были распространены в нашей стране повсеместно).

По пунктирным линиям развертку многогранника нужно согнуть внутрь, а по сплошным – наружу. Аналогично поступлю с тремя остальными частями развертки тетраэдра. M N P MN=NP _____________ Из двух одинаковых разверток тетраэдра склею две модели: тетраэдр и многогранник.

Измерю объем получившихся фигур полюбившимся мне способом… 300 мл 400 мл < _________________ Удивительно!

Применение теории изгибаемых многогранников Строительство (увеличение/ уменьшение жесткости ) Стереохимия (существует ли циклическая молекула, состоящая из шести атомов, такая, что соответствующий ей октаэдр является изгибаемым ) Механика (шарнирные механизмы) Архитектура Металлоконструкции (увеличение жесткости)

При изучении многогранников мне удалось прикоснуться к одной из современных проблем математики. В последние 20 лет она привлекает внимание лучших геометров мира. Эта тема интересна тем, что теорию можно поверить достаточно простыми практическими способами. Постановка задач понятна даже школьнику, но до сих пор некоторые проблемы не решены учеными. Например, вопрос об изменении или постоянстве объёма изгибаемых многогранников в пространствах размерности 4 до сих пор не решён и ждёт своего исследователя.

Литература -У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. Пер. с англ. - М.: "Мир", с. с ил. стр Н. П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников. "Библиотека «Математическое просвещение»«, выпуск Часть 1 // Квант N 5. С Часть 2 // Квант N 6. С И.Х. Сабитов. Объёмы многогранников. М.: МЦНМО, Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности // Соросовский Образовательный Журнал С