Урок конференция «О теореме Пифагора и способах её доказательств»

Цели: 1) Доказать теорему Пифагора несколькими способами; добиться понимания поставленной задачи, учить объяснять выполненное решение; 2) Создать условие для развития умения выстраивания логические цепочки, учить думать, высказывать своё мнение; 3) Познакомить с жизнедеятельностью Пифагора, воспитывать гордость за полученные знания, прививать интерес к исследованиям, истории математики.

Историческая справка За тысячелетие за Пифагора (VI в. до н. э.) было известно утверждение: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Заслуга Пифагора является открытие доказательства этой теоремы. Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 150 различных доказательств этой теоремы. За восемь веков до нашей эры теорема Пифагора была хорошо известна индийцам под названием «Правило верёвки» и использовалось ими для построения алтарей, которые, согласно Священному писанью, должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырёх сторон горизонта. Верёвочный треугольник со сторонами равными 3, 4, 5 («египетский треугольник»), образовывался веревками, натянутыми на колышки, воткнутые в землю в вершинах треугольника. Отсюда и название древних землемеров. В практике при построении прямого угла треугольник со сторонами 3, 4, 5 известен был уже в глубокой древности египтянам и другим народам Востока, такие пропорции археологи находят и в размерах тесаных плит пирамиды Хефрена, и в царской комнате пирамиды Хеопса. Раньше теорема Пифагора называлась «магистром математики», потому что вместо экзамена математике студент должен был принести присягу, что читал установленное число глав «Начал» Евклида. Фактически никто не прочитывал больше первой книги (главы) «Начал». Поэтому последняя теорема первой книги (теорема Пифагора) носила название «магистра математики».

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Теорема Пифагора и способы ее доказательства

Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин его катетов.

c 2 = a 2 + b 2 a b c

Аддитивный метод Этот вид доказательства основан на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

И ндийский С пособ Д оказательства

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Докажем, что с 2 = a 2 + b 2

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна (a + b) 2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/ 2 аb, и квадрата со стороной с, поэтому: S=4 · 1/2 а b +с 2 =2аb+с 2. Таким образом, (a + b)² = 2аb+с², a²+2ab+b² =2ab+c², откуда с 2 =а 2 +b 2.

Дано: ABDE – квадрат ABC – прямоугольный треугольник DK BC EL DK AM EL BC = DK = a AC = b AB = c Доказать: c 2 = a 2 + b 2

Доказательство: 1) ABC = BDK = DEL = = AME (по стороне и 2-ум углам, прилежащим к ней) 2) => AM = BC = DK = EL = = a и AC = DL =EM = BK = = b 3) из п.2 => KL = LM = CM = = CK = a – b

4) S ABC = ½ ab 5) S KLMC = (a – b) 2 6) S ABDE = c 2 7) из п.4, 5 и 6 => c 2 = 4 ½ ab + (a – b) 2 c 2 = 2ab + b 2 – 2ab + a 2 c 2 = a 2 + b 2

Доказательство Гарфилда

Пусть BA=b; AС=а; BС=с Строим прямоугольный треугольник CED так, чтобы точка Е лежала на луче АС, СЕ=b, DE=a, а точки B и D расположены по одну сторону от прямой АС. ΔCED= ΔBAC по 2-м катетам

BAED-прямоугольная трапеция BA AE; DE AE; BA ll DE Т.к АB>DE, то стороны BD и AE не параллельны.

ΔBCD-прямоугольный т.к

SBAED= SBAC +SCED+SBCD SBAED= SBAC +SCED+SBCD SBAED=½·ba+½·ba+½·c² SBAED=½·ba+½·ba+½·c² С другой стороны: SBAED=½(a+b)·(a+b) С другой стороны: SBAED=½(a+b)·(a+b) Приравняем правые части последних двух равенств, получим: Приравняем правые части последних двух равенств, получим: ½·(a+b)² = ba+½·c²; ½·(a+b)² = ba+½·c²; a²+b²+2ab = 2ab+c²; a²+b²+2ab = 2ab+c²; a²+b² = c². a²+b² = c².

Доказательство Эвклида

Пусть АВС – прямоугольный треугольник, а BDEA, AFGC и BCKH – квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе. Требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

Проведем отрезок АМ (перпендикулярный ВС). Тогда квадрат ВСКН разделится на 2 прямоугольника: BLMH и LCKM. Докажем, что они равны квадратам BDEA и AFGC соответственно.

Проведем вспомогательные прямые DC и AH. Рассмотрим два треугольника, закрашенные на чертеже. DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDЕА, а высоту CN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата.

АВН, имеющий основание ВН, общее с прямоугольником BLMH, и высоту AP, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик половине его.

Сравнивая DCB и АВН, находим, что у них BD=ВА и BС= ВН (как стороны квадрата). Кроме того < DBC= < ABH, так как каждый из этих углов состоит из общей части ABC и прямого угла. Значит, треугольники АВН и BDC равны.

Следовательно прямоугольник BLMH равновелик квадрату BDEA. Соединив точки G с B и A с K, точно так же доказывается, что прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC. Таким образом квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC. Значит сумма квадратов катетов равна гипотенузы, что и требовалось доказать.

Индийская задача о тополе На берегу рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его составлял. Запомни теперь, что в том месте река Лишь в четыре фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи, У тополя как велика высота.

4 фута 3 фута

4 фута 3 фута 1 фут=30,5 см.

Решение индийской задачи о тополе Из условия задачи следует, что отломившееся часть ствола является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого 3 и 4 фута образованы высотой оставшейся части ствола и шириной реки. Поэтому длинна упавшей части ствола – 5 футов, а высота всего дерева 8 футов.

Задача о лотосе Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак предложу я вопрос: Как озеро вода здесь глубока?

А ВС

Решение задачи о лотосе Цветок лотоса возвышался над уровнем озера на полфута. Порыв ветра отклонил его стебель, и цветок оказался на уровне воды в двух футах от прежнего места. Задачу можно рассматривать как требование найти катет прямоугольного треугольника, длинна которого – подводный отрезок стебля, второй катет равен двум футам, а гипотенуза – отрезок, длинна которого равна всей длине стебля. Итак, глубину озера, равную длине подводной части стебля (отрезок АВ), обозначим через x, тогда гипотенуза АС будет х+ 1/ 2, отрезок ВС – 2 фута. Составим уравнение :

Задача птица у реки На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывающую на поверхность воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

В С А х 50-х 20 30

Решение задачи птица у реки Из схематического чертежа, пользуясь теоремой Пифагора, устанавливаем: АВ 2 =30 2 +х 2, АС 2 =20 2 +(50-х) 2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одно и тоже время. Поэтому х 2 =20 2 +(50-х) 2 ; х=20. Ответ: рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

Проект разработали учащиеся 8 «Б» класса. Руководитель проекта: Давыдова Елена Александровна 2013