1 Дисциплина Дифференциальное Исчисление (ДИ) (Приложения производной) Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна Васильевна

2 Производные высших порядков

3 Примеры

4 Пример

5 § Теоремы о среднем значении (Ролля, Лагранжа, Коши) для дифференцируемых функций Условия монотонности функции

6

7

8 Теорема Ферма y x M X0X0 X0+ΔxX0+Δx Пусть функция y= f (x) имеет в точке x 0 ( a,b ) локальный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда f '(x 0 ) = 0 Замечание y x y=x 3

9 Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) а) непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ) в) f( a ) = f( b ) Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что f '(С) = 0 f(a)=f(b)< Mf(a)=f(b)>m y x M a b y x m a b или Возможные случаи: 1. m = M; 2. m < M.

10 Теорема Лагранжа (о конечных приращениях) Пусть функция y = f( x ) а) определена и непрерывна на отрезке [ a, b ] б) дифференцируема на интервале ( a, b ). Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что Геометрически y x A a b B b - a f(b)-f(a) tg =f ' (C) C C1C1 C2C2

11 Теорема Коши Пусть функции f( x ) и g( x ) а) непрерывны на отрезке [ a, b ] б) дифференцируемы на интервале ( a, b ) и g'( x ) 0. Тогда найдется хотя бы одна точка С ( a, b ), такая, что

12 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

13 Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки x = a и g'(x) 0 в окрестности x=a. Если и существует, то существует конечный предел, причем § Теорема Лопиталя (правило Лопиталя) Замечание 1. Если f' (x) и g' (x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, в окрестности точки x=a, то правило Лопиталя применяется к отношению производных:

14 г) тогда существует конечный предел, причем Замечание 2. Правило Лопиталя применимо и в случае x, т.е. если Теорема. ( Правило Лопиталя для случая/ ) Пусть функции f(x) и g(x) а) дифференцируемы в окрестности точки x = a б) в) g'(x) 0 в окрестности x=a.

15 Правило Лопиталя

16 Правило Лопиталя

17 Примеры

18 Примеры

19 Примеры

20 § Формула Тейлора и Маклорена Определение. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n где a 0, a 1, …, a n – коэффициенты многочлена, n – натуральные числа. Многочлен полностью определяется своими коэффициентами. Определение. Многочленом (полиномом) по степеням ( x – x 0 ) называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 ( x – x 0 ) + a 2 ( x – x 0 ) 2 + … + a n ( x – x 0 ) n. Определение. Формула называется формулой Тейлора для многочлена P n (x).

21 Теорема. Пусть функция f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке производные до n+1 - го порядка включительно. Тогда при x x 0 функция f(x) сходится к своему многочлену Тейлора, и можно записать Формула называется формулой Тейлора для функции f ( x ). Теорема. Разность между функцией f ( x ) и её многочленом Тейлора P ( x ) является б.м. функцией более высокого порядка малости по сравнению с ( x – x 0 ) n f (x) – P (x) = R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) R n (x) - остаточный член в форме Пеано R n (x) = O ( (x – x 0 ) n ) в форме Лагранжа, где x 0 <

22 x y x0x0 x y=f(x) f(x) P(x) R n (x) f(x)=P(x)+R n (x)

23 sinx y x P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P 4 (x) 0 π -π-π Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при x 0 = 0

24 Стандартные разложения Маклорена Уметь получать разложения

25 § ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция y=f(x) называется а) возрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 f(x 2 ); c) невозрастающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 < x 2 f(x 1 )f(x 2 ); а) неубывающей на (a,b), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 < x 2 f(x 1 )f(x 2 ). Пример невозрастающей функции x 1 < x 2 < x 3 f(x 1 )= f(x 2 ) > f(x 3 ) x y y=f(x)

26 Определение. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 : (x 0 -δ, x 0 +δ), в которой при x

27 Теорема. (Второй достаточный признак существования экстремума) Если в критической точке x 0 функции y=f(x) обращается в ноль не только первая производная, но и все последующие до (n-1)-й включительно, т.е. f '(x 0 )= f '' (x 0 )= f ''' (x 0 )=…= f (n-1) (x 0 )=0, а f (n) (x 0 ) 0, тогда x 0 будет точкой экстремума, если n – четное; x 0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное. Характер экстремума определяется знаком f (n) (x 0 )0. При f (n) (x 0 ) 0 - в x 0 минимум. Теорема. (1 ый Достаточный признак существования экстремума) Пусть y=f(x) непрерывна в интервале, содержащем критическую точку x 0, дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме может быть самой x 0, тогда а) если при переходе слева направо через x 0 производная f '(x) меняет знак с «+» на «-», то в точке x 0 функция f(x) имеет максимум; b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в точке x 0 функция f(x) имеет минимум.

28 Теорема. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой) Пусть y = f (x) непрерывна на [ a,b ], и имеет в ( a, b ) производную до второго порядка включительно, тогда а) если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f (x) отрицательна: f '' (x) < 0, то кривая на ( a, b ) выпукла; b) если во всех точках интервала вторая производная положительна: f '' (x) > 0, то кривая на ( a, b ) вогнута. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на ( a,b ), если все точки кривой лежат ниже любой её касательной на ( a,b ). Кривая называется выпуклой. y x a b x Определение. Кривая обращена выпуклостью вниз на ( a,b ), если все точки кривой лежат выше любой её касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой. y x a b x

29 Теорема. ( Достаточное условие существования точки перегиба ) Пусть в точке x 0 выполнены необходимые условия существования точки перегиба, и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x 0 является точкой перегиба графика функции. Определение. Точка ( x 0 ;y 0 ) графика непрерывной функции f(x), отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости этой функции, называется точкой перегиба графика функции. y x x Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой. ( Необходимое условие существования точки перегиба ) Если точка является точкой перегиба графика функции, то вторая производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

30 Асимптоты кривых Определение. Прямая называется асимптотой кривой y = f ( x ), если расстояние от точки M кривой f ( x ) до данной прямой 0 при неограниченном удалении т. М от начала координат. M y x O f(x) Опр. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из пределов равен или -. Опр. Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции f ( x ) при x ±, если Теорема. ( Критерий существования наклонной асимптоты ) Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

31 Исследование функции без применения производной

32 Исследование функции с применением производной

33 Исследование функции с применением производной

34 Пример

35 Пример

36 Пример

37 Пример

38 Пример

39 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ