Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений» ГАОУ НПО «ОКТУ» г. Обнинск Червакова Ирина Валериевна 1 курс

Цель урока Цели и задачи урока: 1. Сформировать у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения, отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений, урок закрепления пройденного материала; 2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения; 3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности. Червакова И.В.

Задание 1. Вычислить: а rcsin а rcc о s а rcsin0 а rcsin arccos0 аrccos1 а rcc о s а rcc о s(-1) а rcsin а rcsin1 Червакова И.В.

Задание 2. Упростить: 1) sin(π – х), 2)cos(2π +х), 3)tq(3π/2– х), 4)sin(π/2+ х), 5) sin(2π – х), 6)tq(π + х), (3– 7)cos(3π/2– х), 8) sin (п + х) Червакова И.В.

Выбери правильный ответ А 3. arcsin 1) π/6 2) π/3 3) π/2 4) -π/3 А 3. arccos 1) π/6 2) π/3 3) π/2 4) -π/ Задание 3. Сервакова И.В.

Задание 4. Выбери правильный ответ А 4. arccos 1 1) 0 2) π/3 3) -π/2 4) -π А 4. arcsin 1 1) 0 2) -π/2 3) π/2 4) -π Червакова И.В.

Задание 5. Выбери правильный ответ А 5. arcsin 0 1) 0 2) π/3 3) -π/2 4) -π А 5. arccos 0 1) 0 2) -π/2 3) π/2 4) -π Червакова И.В.

Задание 6. Выбери формулу для решения уравнения А 6. cos t=a А 6. sin t=a 1) t = ± arccos a + πn, n є Z. 2) t = (-1) n arcsin a + πn, n є Z. 3) t = ± arccos a + 2πn, n є Z. 4) t = (-1) n arcsin a + 2πn, n єZ. Червакова И.В.

Задание 7 Найдите область допустимых значений выражения А 7. arccos хА 7. arcsin х 1) -1 < х < 1 2) 0 < х < π 3) - π /2 < х < π/2 4) 0 < х < 1 Червакова И.В.

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1. cost = а, где |а| 1 или Частные случаи 1)cost=0 t = π/2+πk kЄZ 2)cost=1 t = 0+2πk kЄZ 3)cost = -1 t = π+2πk kЄZ 2. sint = а, где | а | 1 или Частные случаи 1)sint=0 t = 0+πk kЄZ 2)sint=1 t = π/2+2πk kЄZ 3)sint = - 1 t = - π/2+2πk kЄZ 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk kЄZ 4. ctgt = а, аЄR t = arcctg а + πk kЄZ Червакова И.В.

Примеры: 1) cost= - ½; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; 4) ctgt = - t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ±2π/3+2πk, kЄZ t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ±2π/3+2πk, kЄZ Частный случай: t = 0+πk, kЄZ Частный случай: t = 0+πk, kЄZ t = arctg1+πk, kЄZ t = π/4+πk, kЄZ. t = arctg1+πk, kЄZ t = π/4+πk, kЄZ. t = arcctg( )+πk, kЄZ t = 5π/6+πk, kЄZ. t = arcctg( )+πk, kЄZ t = 5π/6+πk, kЄZ. Червакова И.В.

Задание 8. Ответить на вопросы: 1) sin x= 0 2) sin x = 3) sin x= - 4) sin x = 5 5) sin x = 6) sin x= 7) 2sin x= 1 8) sin x = -1,4 9) sin x = -1 10) sin x =- Червакова И.В.

Способы решения тригонометрических уравнений Уравнения,приводимые к квадратным уравнениям Уравнения,приводимые к квадратным уравнениям Однородные уравнения Однородные уравнения Разложение на множители Разложение на множители Замена переменной Замена переменной Метод вспомогательного угла Метод вспомогательного угла Понижение степеней Понижение степеней Червакова И.В.

Решение простейших уравнений 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ. Червакова И.В.

Другие тригонометрические уравнения 1. Сводимые к квадратным asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 1. Сводимые к квадратным asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 2. Однородные 1)Первой степени: asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2. Однородные 1)Первой степени: asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx. Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. 2)Второй степени: asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. Червакова И.В.

уравнения, приводимые к квадратным уравнениям 2cos²x+sinx+1=0 2cos²x+sinx+1=02*(1-sin²x)+sinx+1=02-2sin²x+sinx+1=0-2sin²x+sinx+3=0 Пусть a=sinx -2a²+a+3=0 a 1 =-1, a 2 =1,5 Sinx=-1 sinx=1,5 X=-П/2+2Пn, нет корней Червакова И.В.

Однородные уравнения 3sin²x+sinx cos x=2cos²x Делим на sin²x обе части уравнения 3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x Известно,что ctg x= cos x/sin x Получим 3+ctgx=2ctg²x Пусть a=ctg x 3+a=2a²2a²-a-3=0 a 1 =1,5 a 2 =-1 Получим ctg x=1,5 ctg x=-1 Получим ctg x=1,5 ctg x=-1 X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm Червакова И.В.

Разложение на множители 4sin²x-sin2x=0 4sin²x-2sinx cosx=0 2sinx(2sinx-cosx)=0 Sinx=0 или 2sinx-cosx=0 x1=Пn 2sinx -cosx=0 sinx sinx sinx sinx 2-ctgx=0 2-ctgx=0 ctgx=2 ctgx=2 X2=arcctg2+Пk X2=arcctg2+Пk Червакова И.В.

Замена переменной 2(1+tgx) - 3 =5 1+tgx 1+tgx Пусть y=1+tgx 2y - 3 =5 Y2y²-3=5yy02y²-5y-3=0 y 1 =3, y 2 =-0,5 1+tgx=3 1+tgx=-0,5 tgx=2 tgx=-1,5 X 1 =arctg2+Пn x 2 =-arctg1,5+Пk Червакова И.В.

Понижение степеней Sin x+cos x=1/2 Sin x+cos x=1/2(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2 Известно, что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)==1+cosx cos2x ²+ 1+cos 2x ² = cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=22cos²x=0cosx=0 X=П/2+Пn Червакова И.В.

Решаем вместе Cos 2x = 3/2 Cos x/3=-1/2 5 cos 2 x + 6 sinx – 6 = 0 2cos(x/2-Π /6)= 3 Червакова И.В.

6 Домашнее задания. cos (4x – 2) = ½; cos2x – 2cos x = 0; cos2x – sin2x = 1; 3sin2x – 5sin x – 2 = 0; 2sin x – 3cos x = 0; (tgx- 3)(2sin x/2 + 1) = 0; 3sin²x+sinx cos x=2cos²x. Червакова И.В.

Разгадайте ребус 3 ИЯ,,, Червакова И.В.