Решение задач. Модуль «Геометрия». Часть 2. МОУ СОШ 8 Агафонова Т.В год

* Задание 24 Задание 24 нахождение неизвестного элемента * Задание 25 Задание 25 Доказательство * Задание 26 Задание 26 Уровень повышенной сложности

Решение. Рассмотрим треугольник АОВ равнобедренный по т.Пифагора AO^2=12^2+(10/2)^2=169 AO=R=13 радиус окружности 13 рассмотрим треугольник COD равнобедренный по т.Пифагора (х=1/2CD h=5 ) x^2=R^2-h^2 x^2=169-25=144 x=12 CD=2x=24 Ответ: 24. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB =30, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равно соответственно 8 и 15.

Пусть KMP=38°; MKP=78°; KPM=64° Рассмотрим треугольник AMK. AM=AK (по второму свойству касательной)второму свойству касательной Следовательно треугольник AMK - равнобедренный, тогда, по свойству равнобедренного треугольника: AMK= AKM Заметим, что оба этих угла охватывают дугу MK, и следовательно равны половине ее градусной меры (по свойству углов на окружности). MPK является вписанным в окружность углом и опирается на эту же дугу, следовательно и он равен половине градусной меры этой дуги. Получается, что: AMK= AKM= MPK=64° Применив теорему о сумме углов треугольника: 180°= AMK+ AKM+ MAK 180°=64°+64°+ MAK MAK=52° Аналогично, для двух других треугольников получим: BKP= BPK= PMK=38° KBP=180°-38°-38°=104° И... CPM= CMP= MKP=78° PCM=180°-78°-78°=24° Ответ: 52°, 104° и 24°равнобедренный свойству равнобедренного треугольника свойству углов на окружности вписанным теорему о сумме углов треугольника Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M,K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 52 0, 62 0 и 66 0.

Решение задачи: ABCD - трапеция, следовательно, AD||BC. CBD= ADB (т.к. это накрест-лежащие углы для параллельных прямых AD и BC). Рассмотрим отношения сторон: BC/BD=4/16=1/4 BD/AD=16/64=1/4 Тогда по второму признаку подобия треугольников, треугольники CBD и ADB подобны.трапеция накрест-лежащие углы второму признаку подобия треугольников Основания трапеции BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 см и 20 см, BD равно 10 см. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.

РЕШЕНИЕ. Проведем несколько отрезков: EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной). FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной). HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К. Рассмотрим треугольники AFG и AEH: EAH - общий; углы AEH и AFG - прямые. Следовательно эти треугольники подобны, тогда: FG/EH=AG/AH FG/EH=(AH+HG)/AH 42/39=(AH+R+r)/AH 42AH=39(AH+81) 42AH-39AH=3159 AH=1053 sin EAH=EH/AH=39/1053=1/27 AK=AH+r= =1092 AK перпендикулярен BC, т.к. AK - это продолжение большого и малого радиусов, а BC - касательная к малой окружности ( свойство касательной). AK делит хорду BC (BC - хорда для большой окружности) пополам (по второму свойству хорды). Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника). Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем: AK=1092 sing=1/27 Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK. Найдем AB. По теореме Пифагора: AB 2 =AK 2 +BK 2 AB 2 =AK 2 +(AB*sing) 2 AB 2 -AB 2 *sin 2 α= AB 2 (1-1/27 2 )= AB 2 ( )=27 2 * AB 2 =27 2 * /( ) Рассмотрим треугольник AOB. AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный. Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника). sing=ON/AO => ON=AO/27 По теореме Пифагора: AO 2 =ON 2 +AN 2 AO 2 =AO 2 /27 2 +(AB/2) 2 AO 2 (( )/27 2 )=27 2 * /( ) Закончив все вычисления, получаем, что AO=546,75 Ответ: Радиус описанной окружности равен 546,75. свойству касательной подобны касательная свойство касательной свойству хордыравнобедренныймедианавысота свойство равнобедренного треугольника биссектриса теореме Пифагораравнобедренныйравнобедренном треугольнике медианой свойству равнобедренного треугольника sin Пифагора Две касающиеся внешним образом в точке P окружности, радиусы которых 8 и 10, касаются сторон угла с вершиной B. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку P, пересекает стороны угла в точках A и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Процент выполнения балла 1,15,8 3 балла 11,626, балла 1,26,3 4 балла 5,07, балл 1,25,8 2 балла 4,532, балла 1,15,1 3 балла 2,610, балла 0,10,3 4 балла 0,21,4

E F К О

E

* Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА-2015: учебно- методическое пособие/Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.- Ростов-на-Дону:Легион, с.- (ГИА-9) *