Учитель математики МБОУ «Гимназия 97 г. Ельца» Агеева Юлия Владимировна Мастер-класс «Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе математики 5 – 7 классов»

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы. С. Коваль

Цели: рассмотреть различные виды уравнений, изучаемые в курсе математики 5-7 классов; привести алгоритмы их решения; дать методические рекомендации по обучению учащихся решению уравнений.

Алгоритм – понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить с данными, чтобы решить любую задачу данного типа.

Характеристические свойства понятия «алгоритм»: Свойство массовости Свойство дискретности и элементарности шагов Свойство результативности Свойство детерминированности

Всякий алгоритм описывает общий метод решения класса однотипных задач

Правило - «свернутый» алгоритм

Всякий алгоритм можно назвать правилом, но не всякое правило можно назвать алгоритмом

Три основных этапа: введение алгоритма; усвоение алгоритма; применение алгоритма.

Цели этапов: цель первого этапа – актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма, а также формулирование алгоритма; цель второго этапа – отработка операций, входящих в алгоритм, и усвоение их последовательности; цель третьего этапа – отработка алгоритма в знакомых (при варьировании исходных данных) и незнакомых ситуациях.

Формы работы с учащимися: на первом этапе - устная работа на повторение. на втором этапе – письменная коллективная работа с широким использованием комментирования выполняемых действий. на третьем этапе – самостоятельная работа.

V класс Уравнения решаются на основе зависимости между результатом и компонентами арифметического действия.

a+x=ba+x=b Правило: «Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое».

a – x = в x – a = в 1) «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность»; 2) «Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность».

V класс x = х + 4 х = а – 8 а = 714 8,6 – (x + 2,75) = 1,85 45,7 х + 0,3 х – 2,4 = 89,6 x + 2,8 = 3,72 + 0,38

V класс 1) x + 37 = 85; 2) m – 94 = 18; 3) 85 – z = 36; 4) 4x = 144; 5) x : 8 = 13; 6) 42 : x = 6

V класс Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Правило 3: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. Правило 5: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель. Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Учащиеся V класса сначала должны определить неизвестный компонент действия, а затем найти его, пользуясь одним из вышеперечисленных правил. x + 25 = 50 x = 50 – 25 x = 25 Ответ: 25 y + 64 = y + 64 = 86 y = 86 – 64 y = 22 Ответ: 22

Задания: 1. Заполните пропуски в формулировках и определениях. Уравнением называется ____________, содержащее ____________. Корнем уравнения называется такое значение ______________, при котором уравнение обращается в _____________ равенство. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к _____________ вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно _______________ вычесть _______________.

Задания: 2. Заполните пустые клетки в таблице. Уменьшаемое Вычитаемое Разность

3. Узнайте, какое слово зашифровано в таблице. ТОИНЛЧО Уравнение ОтветБуква x – 56 = О 239 – x = 70 x + 19 = x = = x x – 185 = – x = 32

VI класс Общий приём решения уравнений: слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

VI класс –x = 607 -а = -30, (а - 25) = -4 |y| = 20 |a| = 0 |b| = -3 7,2 – (6,2 - x) = 2,2 |x| = 9

«Универсальный» алгоритм решения линейных уравнений с одним неизвестным вида: 6x – 12 = 5x + 4 1) раскрыть скобки (если таковые имеются); 2) оставить неизвестные в одной части уравнения, известные – в другой (уединение неизвестных); 3) привести подобные слагаемые; 4) разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном; 5) записать ответ.

Пример 5 х + 3 = 2 х х – 2 х = 9 – 3 3 х = 6 x = 2 Ответ: 2

Первый этап формирования алгоритма Устные упражнения на повторение: 1) Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного: а) 8 х + 5,9 = 7 х + 20; б) 6 х – 8 = -5 х – 1,6. 2) Оставьте в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой – не содержащие неизвестное: а) 15y – 8 = -6y +4,6; б) -16z + 1,7 = 2z – 1.

Первый этап формирования алгоритма Устные упражнения на повторение: 3) Приведите подобные слагаемые: а) 15t + 8 – 8t – 6; б) 13a + 4 – 7a - 25a; в) 24m + 7 – 9m – 14m. 4) Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 7b – (3b + 1); б) 3(x - 5) + 10x; в) -2(x + 1) + x.

Первый вид тестовых заданий 1. Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», _________________ знаки слагаемых, стоящих в скобках. 2. Раскройте скобки: -17,5 + (3,02 – 2,51) = __________________. 3. -(a + b) = __________________.

Первый вид тестовых заданий 4. Коэффициентом такого выражения, как a или ab, считают _________. 5. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют ______________________ слагаемыми. 6. Выполните приведение подобных слагаемых: -b – 2c + 4b – c = _________________________. 7. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то корни уравнения ________________________.

Второй вид тестовых заданий 1. Выражение a + (b + c) можно записать без скобок: a + (b + c) = a + b + c 2. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. 3. Приведение подобных слагаемых выполняют на основании переместительного свойства умножения. 4. Число -30 является корнем уравнения 0,5 х – 15 = х.

Третий вид тестовых заданий 1. Раскройте скобки в выражении: a – (b + c - d) А) a – b + c – d; Б) a – b – c + d; В) a + b + c – d. 2. Найдите значение выражения: 25 – ( ) А) -40; Б) -16; В) Упростите: 5x – 5y – 6x + y А) –x – 5y; Б) -6x + y; В) –x – 4y. 4. Найдите корень уравнения: 4 – 3y = 7 - y А) 1,5; Б) -1; В) -1,5.

Второй этап формирования алгоритма Решите уравнения: 1) -2x + 16 = 5x – 19 2) 4(3 – 2x) + 24 = 2(3 + 2x) 3) 15 – 3(x - 8) = 3 4) 0,5(4 + x) – 0,4(x - 3) = 2,5 5) 0,4(x - 9) – 0,3(x + 2) = 0,7

Третий этап формирования алгоритма Решите уравнения: 18 = 3y + 3 6x + 10 = 5x n – 16 = 3n 8 – 5n = 10 – 4n 9m – 8 = 6m + 7

Тестовые задания 1. Решите уравнение: 4,2 х + 5 = -7,6 А) 4; Б) -3; В) -0,3; Г) другой ответ. 2. Найдите сумму корней уравнений х + 11,7 = 8,7 и (3 х + 4,6) – 6,6 = 8,7 + 2,2 А) 4,3; Б) -7,4; В) 1,3; Г) другой ответ.

Тестовые задания 3. Отец в два раза старше сына и на 25 лет старше дочери. Сколько лет дочери, если всем вместе им 95 лет? А) 23; Б) 24; В) 48; Г) другой ответ.

Самостоятельная работа 1. Решите уравнения: а) 2,1 х – 3,5 = 1,4 х; б) 2(4 – 1,9 х) = 0,8 – 0,2 х. 2. На верхней полке в 3 раза больше книг, чем на нижней. После того, как с верхней полки сняли 15 книг, а на нижнюю добавили 11 книг, книг на обеих полках стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? 3. Путь из города в село турист прошел со скоростью 4,8 км/ч. На обратном пути он увеличил скорость до 6 км/ч, что позволило ему пройти это расстояние на 1 час быстрее. Найдите расстояние от города до села.

VII класс 0,5(4 – 2a) = a – 1,8 2 – a = a – 1,8 a + a = 2 + 1,8 2a = 3,8 a = 1,9 Ответ: 1,9

Алгоритм решения линейного уравнения с двумя переменными типа: 5y – 2x = 1 1) воспользовавшись свойствами уравнений, выразить из данного уравнения одну переменную через другую; 2) воспользовавшись свойствами уравнений, добиться того, чтобы коэффициент при одной из переменных был равен единице; 3) взять произвольное значение одной из переменных и вычислить соответствующее ему значение другой переменной; 4) записать решение исходного (данного) уравнения в виде пары (пар) чисел.

Пример 3x + 2y = 12 (1) 2y = 12 – 3x y = 6 – 1,5x (2) если x = 2, то = 6 – 3 = 3; если x = 6, то = 6 – 9 = -3. Пары чисел (2; 3), (6;-3) – решение уравнения (1). уравнение (1) имеет бесконечно много решений

Тестовые задания по теме: «Уравнение с одной переменной» 1. Выберите уравнения, для которых число -3 является корнем: 1) (2x + 3)(2x - 6) = 0; 3) (2x + 6)(x - 4) = 0; 2) (x2 - 9) + (x2 - 7) = 2; 4) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = 0. а) 1; 2; б) всех; в) 3; 4; г) 2; 3; Найдите все натуральные значения p, при которых корнем уравнения px = 8 является целое число. а) 1; 2; 4; 8; б) 1; 8; в) 2; 4; г) 2; 4; 8.

Тестовые задания по теме «Уравнения с двумя переменными» 1. При каком значении c пара (c;3) является решением уравнения 3x – 4y = 6? а) -6; б) Точка с абсциссой -3 принадлежит графику уравнения x – 2y = 10. Найдите ординату этой точки. а) -6,5; б) 6,5; в) 4; г) -4.

Самостоятельная работа 1. Решите уравнения: а) -8 х = -24; б) 50 х = -5; в) -18 х = Определите значение x, при котором значение выражения -3 х равно: а) 0; б) 6; в) -12; 3. При каких значениях a уравнение ax = 8: 1) имеет корень, равный -4, 0; 2) не имеет корней; 3) имеет отрицательный корень?

Методические рекомендации по организации работы учащихся с алгоритмами и формированию алгоритмического мышления. алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким; «Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его»; пунктуационное соблюдение данного учителем образца решения задачи; указания в алгоритме желательно давать в таком виде, чтобы они содержали в себе все необходимые объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу решения задач.