Геометрия глава 11 Соотношения между сторонами и углами треугольника Подготовил Гаврилов Саша ученик 9 класса СПб лицей 488 ( учитель Курышова Н.Е. )

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

Синус, косинус и тангенс угла -Синус, косинус и тангенс угла Синус, косинус и тангенс угла -Основное тригонометрическое тождество Основное тригонометрическое тождество -Формулы приведения Формулы приведения Соотношения между сторонами и углами треугольника - Теорема синусов Теорема синусов - Теорема косинусов Теорема косинусов Скалярное произведение векторов - Угол между векторами Угол между векторами - Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов - Скалярное произведение в координатах Скалярное произведение в координатах - Свойства скалярного произведения векторов Свойства скалярного произведения векторов - Применение скалярного произведения векторов к решению задач Применение скалярного произведения векторов к решению задач

Далее Определения

y x O Назовем ее единичной полуокружностью R=1 I II C(0;1) A(1;0) B(-1;0) M(x;y) h N a D y x

1)Если острый, DOM имеет sing =MD/OM, cosα = OD/OM 2) OM=1, MD=y, OD=x sin α = y, cos α = x y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a

y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a Синус острого угла численно равен ординате точки М Косинус острого угла численно равен абсциссе точки М

y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a Если угол прямой, тупой или развернутый или α=0 0, то синус и косинус угла также определим по формулам sin α = y, cos α = x

y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a Координаты (x; y) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 y 1, -1 x 1, то для любого α из промежутка 0 0 α справедливы неравенства 0 sin α 1, -1 cos α 1

y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a sin 0 0 =0, sin 90 0 =1, sin =0, cos 0 0 = 1, cos 90 0 =0, cos = -1

y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a Тангенс угла α (α90 0 ) равен отношению tg 0 0 =0, tg =0

Основное тригонометрическое тождество.

Это полуокружность является дугой окружности, уравнения которой имеет вид x 2 +y 2 =1 y x C(0;1) h M(x;y) A(1;0) B(-1;0) O N D y x a

sin α = y, cos α = x x 2 +y 2 =1 sin 2 α + cos 2 α =1 Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством

Формулы приведения

Далее Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB C !! AB C a/sin = b/sin β = c/sin γ a b c a b c β β γ γ

Дано: АВС Доказать: А В С

Доказательство: S ABC = А В С (1) (2) (3)

Приравняем равенства (1) и (2), получим = =

Приравняем равенства (2) и (3), получим = =

Объединив равенства И получим ч.т.д

Дано: Найти: Решение: ABC AB - ? Ответ: b sin γ / sin ( + γ) Далее A B C b γ b / sin β = AB / sin γ AB = b sin γ / sin β AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ)) AB = b sin γ / sin ( + γ) В треугольнике АВС сторона АС=b. Найти АВ. AC = b, γ

Возврат в меню Дано: Найти: Решение: = 45° b - ? A B C a b c Ответ: 3 6 / 2 a/sin =b/sin β b= a sin β/ sin b = 3 sin 60 ° / sin 45 ° β b = 3 ( 3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 В треугольнике АВС угол А равен 45 0, угол В равен 60 0, а сторона ВС равна 3 м. Найти сторону АС. β = 60° a = 3 м

Теорема. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. A B C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α ! ! Далее

Дано: АВС АВ=с, ВС=а, АС=b Доказать:

А С В (bcosA; bsinA) у х (с; 0) а b c

Доказательство: Найдем расстояние ВС: ВС 2 = а 2 = (bcosA – c) 2 + b 2 sin 2 A = b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A - 2bc cosA + c 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA Ч.т.д А С В (bcosA; bsinA) у х (с; 0) а b c

Следствие AB C AB C D Угол - острый Угол - тупой CD – высота AD – проекция стороны AC на сторону AB. CD – высота AD – проекция стороны AC на продолжение стороны AB. cos = AD/AC cos (180 - ) = AD / AC = –cos AD = AC cos AD= – AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB ADBC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD cos (180 - ) = –cos D Далее Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+»надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.

Далее Дано: Найти: Решение: AC = 5 м BC - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = 6 ² + 5 ² ,6 BC ² = BC ² = 25 BC = 5 Ответ: 5 м. BC = 25 В треугольнике АВС сторона АС равна 5 м, сторона АВ равна 6 м., а косинус угла А равен 0,6. Найти сторону ВС. 5 6 ? AB = 6 м cos = 0,6

BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos Далее Дано: Найти: Решение: AC = 5 м cos - ? A B C Ответ: 0,2. cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / cos = ( ) / 60 cos = 0, В треугольнике АВС сторона АС равна 5 м, сторона АВ равна 6 м, а сторона ВС равна 7 м. Найти косинус угла А. AB = 6 м BC = 7 м

Дано: Найти: Решение: BC = 4 м AD - ? BD - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. D AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6 AD = ( – 16 ) / 12 AD = 3,75 BD = AB - AD BD = 6 – 3,75 = 2,25 Возврат в меню В треугольнике АВС сторона ВС равна 4 м., сторона АС равна 5 м., а сторона АВ равна 6 м. Найти стороны АD и BD AC = 5 м AB = 6 м

Скалярное произведение векторов

Вектор – направленный отрезок X Y yaya O ybyb xbxb xaxa

Координаты вектора с концами в точках A{x A, y A } и B{x B, y B } : Длина вектора a{x, y}: Координаты суммы векторов a{x A, y A } и b{x B, y B )}: Координаты произведения вектора a{x, y} на число λ:

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

Примеры:

Свойства скалярного произведения:

Свойства скалярного произведения:

Скалярное произведение в координатах

Скалярным произведением векторов и выражается формулой y2y2 x2x2 y1y1 x1x1 O Y

Примеры: скалярное произведение векторов

Вычислите скалярное произведение векторов:

Следствия

Пример:

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых векторов и любого числа k справедливы отношения:

Докажем второе свойство:

Применение скалярного произведения векторов к решению задач

Докажите, что если АМ – медиана треугольника АВС, то 4AM 2 =AB 2 +AC 2 +2AB*AC*cosA

Дано: ABC AM – медиана Доказать: 4AM2=AB2+AC2+2AB*AC*cosA B C A M

B C A M 1)Точка М – середина отрезка BC, поэтому 2) Отсюда получаем: Ч.т.д.

Выход Возврат в меню

Синусом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе Косинусом угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе Тангенсом угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему