МОУ «СОШ 15» г.о. Нальчик Проект по теме: Выполнила: Митик Мария, 9 класс Руководитель проекта: Бозиева Ф.С. высшая квалификационная категория.

Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного. Цель. Показать, что в математике много увлекательного и интересного. Задачи: Задачи: Сделать ленту Мёбиуса. Сделать ленту Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Узнать свойства ленты Мёбиуса. Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса. Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса. Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни. Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни. Узнать о свойствах бутылки Клейна Узнать о свойствах бутылки Клейна

Август Фердинанд Мёбиус. Немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус ( ), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту. Немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус ( ), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

Топология. Топологические свойства листа Мебиуса. 1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. 2. Непрерывность - с топологической точки зрения круг неот­личим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в дру­гой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - не­прерывность полная. 3. Связность - Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой, лента Мебиуса двухсвязна. 4. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 4. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение. 5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

Изготовление Ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Для изготовления ленты Мёбиуса нам понадобятся: бумага, клей и ножницы. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

4. Свойства ленты Мёбиуса Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами, изучение которых становится увлекательным занятием. Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет. сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет.Вывод: Начали красить лист Мёбиуса, не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?» Начали красить лист Мёбиуса, не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

Проведем линию вдоль ленты, на одинаковом расстоянии от краёв. Что заметили? Вывод: Линия проведена «с двух сторон». Линия вернулась в точку начала.

А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (лист Мёбиуса) по всей длине? Получилось два кольца? Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента» (так называют ее фокусники).

Разрежьте «Афганскую ленту» вдоль посередине. Вывод: Получились две ленты, намотанные друг на друга.

Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Лист Мёбиуса шириной 5 см. разрезали вдоль на расстоянии 1 см от края. Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось? Склейте два кольца - одно простое и лист Мёбиуса. Разрежьте каждое из них пополам вдоль. Что у Вас получилось? Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента». Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».

Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы Попробуйте прорезать в полосе щель и продеть сквозь нее один конец полосы ( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет: ( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет: Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента». перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента».

Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса. Бумажную куклу отправили вдоль по середине листа Мёбиуса. Вывод: Вывод: Кукла вернулась в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде. Кукла вернулась в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде.

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Вывод: Вывод: Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе. Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе.

А вот еще одна фигура, надо ее склеить так, чтобы совпали точки А и Е; В и F C и G; D и H. C и G; D и H. Вывод: Получили две непересекающиеся ленты Мебиуса, соединенных между собой.

Возьмём на листе Мёбиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Возьмём на листе Мёбиуса точку, проведем к ней нормаль (перпендикуляр), а вокруг нормали начертим небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности на противоположное. Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности на противоположное. Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема. Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

Выводы: Лист Мебиуса имеет один край. Лист Мебиуса имеет один край. Лист Мебиуса имеет одну сторону. Лист Мебиуса имеет одну сторону. Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски. Лист Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски. Поверхность листа Мёбиуса неориентируема. Поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

Проблемы.

Бутылка Клейна. Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную.

Изготовление бутылки Клейна из листа бумаги

Бутылка Клейна это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6. Бутылка Клейна это односторонняя поверхность без края с числом Бетти, равным 2 и хроматическим числом, равным 6.

5.Использование листа Мёбиуса У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка.

В 1923 году выдан патент знаменитому американскому изобретателю Ли де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса. В 1923 году выдан патент знаменитому американскому изобретателю Ли де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство ). (им выдано авторское свидетельство ).

Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон. Ленточный конвейер в виде ленты Мёбиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами. В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса. Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.

Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования. Красящая лента в первых принтерах – лента Мёбиуса увеличивала срок их использования. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. Международный символ переработки – лист Мёбиуса. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины. В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины. Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты. Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты.

6.Использование листа Мёбиуса в искусстве. В рассказе А.Дж. Дейча «Метро Мебиус II» рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц…. В рассказе А.Дж. Дейча «Метро Мебиус II» рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц….

Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. Встречаются упоминание о листе Мёбиуса и в поэзии. «Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом». «Лист Мебиуса - символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом». ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова) ( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова) Лента Мёбиуса широко используется фокусниками Лента Мёбиуса широко используется фокусниками

Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы) множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Особенно любил работать с топологическими объектами голландский художник Морис Корнелис Эшер (1898 – 1972 годы) множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

Золотое колечко в виде листа Мёбиуса

Мебель в форме листа Мебиуса (видимо, для поссорившихся парочек).

Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна и шарф в форме листа Мебиуса

III Заключение В результате выполнения этого проекта Я узнала, что: В результате выполнения этого проекта Я узнала, что: Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса. Существует односторонняя поверхность – лист Мёбиуса. Он обладает удивительными свойствами. Он обладает удивительными свойствами. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни. Она волнует литераторов и художников. Она волнует литераторов и художников. Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи. Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи.

Практическим результатом моего проекта стало: Изготовление бумажной бутылки Клейна. Изготовление бумажной бутылки Клейна. Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна (смотри схему). Вязаная шапочка в форме бутылки Клейна (смотри схему). Вязаный шарф в форме листа Мебиуса. Вязаный шарф в форме листа Мебиуса. Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна