Решение тригонометрических уравнений Мишурова Любовь Александровна, учитель математики Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 2»

Цели урока: Создания условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sinx + b cosx = c. Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся. Развитие устной математической речи. Обеспечение условий для развития умения решать тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников: сравнивать, обобщать и анализировать, развития навыков обработки информации. Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников. Воспитание аккуратности.

Проверка домашнего задания sin7x – sin x =cos4x

Решение. sin7x – sin x =cos4x, 2sin3x cos4x - cos4x =0, сos4x ( 2sin3x – 1 )=0, сos4x=0 или 2cos3x -1 =0 сos4x=0 4x =П/2+Пn, n Z; cos3x =1/2, X=П/8 +Пn/4, n Z, 3x =±аrccos1/2 +2Пn, n 3x =±П/3 +2Пn, n Z, X =±П/9 + 2/3Пn, n Z. Ответ: X=П/8 +Пn/4, X =±П/9 = 2/3Пn, n Z

Решить уравнение sin²x - cos²x = cos4x

Решение. sin²x-cos²x =cos4x, - (cos² - sin²x )=cos4x, -cos2x = cos²2x - sin²2x, -cos2x = cos²2x – ( 1 - cos²2x), -cos2x - cos²2x +1 - cos²2x = 0, -2cos²2x – cos2x +1 = 0, 2cos²2x + cos2x -1 = 0. Заменим сos2x на У, где |У| 1 Тогда 2 у² +у -1 = 0, D =1 - 42(-1) =9, У =1/ 2, у = -1. Выполним обратную замену Cos2x =1/ 2, cos2x = -1, 2x = П+2Пn, n Z, 2x =±arccos1/2 =2Пn, n Z, x=П/2+Пn, n Z. 2x ±П/3 +2Пn. n Z, X =±П/6+Пn, n Z. Ответ: X =±П/6+Пn, x=П/2+Пn, n Z.

Решение уравнений учащимися 628 (1) 628 (3) 629 (2)

COS X = a, где|a| 1

x = arccos a + 2 n, n Z n Z arccos (– a) = - arccos a

sin X = a, где|a| 1

x=(–1) n arcsin a + n, n Z arcsin (– a) = – arcsin a

tg x = a, где a R

x = arctg a + n, n Z arctg (– a) = – arctg a

cos x = 0

x = + n, n Z

cos x = 1

x = +2 n, n Z

cos x = -1

x = +2 n, n Z

sin x =0

x = n, n Z

sin x =1

x = +2 n, n Z

sin x = -1

x = - +2 n, n Z

Решить уравнение 4sin²x – 4sinx – 3 = 0 2cos²x – sinx – 1 = 0

Ответы. 4sin²x - 4 sinx – 3 = 0 ( -1) n+1 П/6 +Пn, n Z. 2 сos²x – sin x – 1 = 0 ±П/6 +Пn; -П/2+2Пn, n Z.

Уравнения:

Уравнение

Уравнение. Поделив уравнение на, получим,, При решении этой задачи обе части уравнения были поделены на. Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения корнями данного уравнения. Если, то из уравнения следует, что. Однако и не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством. Следовательно, при делении уравнения, где,, на (или ) получаем уравнение, равносильное данному.

Уравнение. Используя формулы sin x = 2 sin cos, cos x = cos 2 - sin 2 и записывая правую часть уравнения в виде, получаем Поделив это уравнение на, получим равносильное уравнение Обозначая, получаем, откуда. 1) 2) Ответ:.0 2 cos 2 2 sin xxxx

Данное уравнение является уравнением вида, (1) где,,, которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на :. (2) Введем вспомогательный аргумент, такой, что. Такое число существует, так как. Таким образом, уравнение можно записать в виде. Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением.

Решить уравнение

Здесь Поделим обе части уравнения на 5: Введем вспомогательный аргумент, такой, что,. Исходное уравнение можно записать в виде, откуда Ответ: