ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Боурош Руслана Николаевна МОУ СОШ 26 г.Орехово-Зуево

Упростите: Упростите:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log a х =b (а > 0, а 1, b>0 ) log a х =b (а > 0, а 1, b>0 ) Способы решения Способы решения 1. Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение log a х = b (а > 0, а 1, b>0 ) имеет решение х = а b. 2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их, если log a f(х) = log a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а Метод введение новой переменной. 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. 5. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. 6. Функционально – графический метод.

1 метод: На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. log 2 42= х, log 33 х = - 2, log х 64= 3, 2 х = 42, х =33 – 2, х 3 =64, 2 х = 2 5/2, х =3 - 3, х 3 = 4 3, х =5/2. х = 1/27. х =4.

2 метод: Решите уравнение: lg(х 2 -6 х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. lg(х 2 -6 х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Условие для проверки всегда составляем по исходному уравнению. (х 2 -6 х+9) >0, х 3, Х-7 >0; х >7; Сначала нужно преобразовать уравнение, привести к виду log ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. log ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7)) 2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3, х- 3 = 3 х -21, х -3 =- 3 х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9- корень уравнения. Ответ : 9

3 метод: Решите уравнение: log 6 2 х + log 6 х +14 = (16 – х 2 ) 2 +х 2, log 6 2 х + log 6 х +14 = (16 – х 2 ) 2 +х 2, 16 – х 2 0 ; - 4 х 4; 16 – х 2 0 ; - 4 х 4; х >0, х >0, О.Д.З. [ 0;4). х >0, х >0, О.Д.З. [ 0;4). log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2, log 6 2 х + log 6 х +14 = 16 – х 2 +х 2, log 6 2 х + log 6 х -2 = 0 log 6 2 х + log 6 х -2 = 0 заменим log 6 х = t заменим log 6 х = t t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -2. t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -2. log 6 х = 1, х = 6 посторонний корень. log 6 х = 1, х = 6 посторонний корень. log 6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает 1/36 является корнем. log 6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает 1/36 является корнем. Ответ : 1/36. Ответ : 1/36.

4 метод: Решите уравнение = ЗХ, возьмем от обеих частей уравнения логарифм = ЗХ, возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3 по основанию 3 Получим log 3 = log 3 (3 х) log 3 = log 3 (3 х).. Учитывая теорему 3, получаем : log 3 х 2 log 3 х = log 3 3 х, 2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х, 2log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х, 2 log 3 2 х = log 3 х +1, 2 log 3 2 х = log 3 х +1, 2 log 3 2 х - log 3 х -1=0, 2 log 3 2 х - log 3 х -1=0, заменим log 3 х = t, х >0 2 t 2 - t -1 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -1/2 log 3 х = 1, х=3, log 3 х = 1, х=3, log 3 х = -1/ 2, х= 1/3. log 3 х = -1/ 2, х= 1/3. Ответ: 3 ; 1/3.. Ответ: 3 ; 1/3..

5 метод: Решите уравнение: log 9 ( х ) log 7-2 х 3 = 1, х >0, х 0, х< 37/12, 7-2 х >0, х 0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2 х 1; х 3; х 3; log 9 ( х ) / log 3 (7-2 х ) = 1, log 9 ( х ) / log 3 (7-2 х ) = 1, ½ log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ), ½ log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ), log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ) 2, log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ) 2, х= х +4 х 2, х= х +4 х 2, 4 х х +12 =0, 4 х х +12 =0, х 2 -4 х +3 =0, Д=4, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень. х 2 -4 х +3 =0, Д=4, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень. Проверкой убеждаемся, что 1- корень уравнения. Ответ: 1.

6 метод Решите уравнение: log 3 х = 12-х. Так как функция у= log 3 х возрастающая,а функция у =12-х убывающая на (0; + ), то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ: 10. Ответ: 10.