Числа и системы счисления Позиционные и непозиционные системы счисления Основные понятия позиционной системы счисления Форма представления чисел в позиционных системах счисления Форма представления чисел в позиционных системах счисления Перевод чисел из одной позиционной системы в другую Тест для тех, кому интересна история Тест по основным понятиям темы Литература Заключение

Понятие числа является фундаментальным как для математики, так и для информатики. История возникновения чисел уходит в далекое прошлое.История возникновения чисел уходит в далекое прошлое. С ними тесно связано еще одно важное понятие – система счисления. система счисления. Следующий слайд Содержание конец

Система счисления - Это способ изображения чисел (с помощью данного набора символов) и соответствующие ему правила действия над числами.

Выделяют позиционные и непозиционные системы счисления.позиционные непозиционные системы счисления. В современной математике применяется система счисления, которая является позиционной десятичной системой.позиционной десятичной системой. Содержание конец

Примерами древнейших систем счисления являются дошедшая до нас римская система записи чисел, а также система славянских цифр, египетские иероглифы, цифры племен майя и других народов (островитян, финикийцев, сирийцев, греков). В основном все ранние системы счисления были непозиционными.римская система записи чисел система славянских цифрегипетские иероглифыцифры племен майя островитянфиникийцев, сирийцев, греков Они были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но совсем неудобны при умножении и делении. Чтобы преодолеть эти недостатки, человечество придумало позиционные системы счисления. Одной из первых стала вавилонская.вавилонская. Содержание конец

Системы счисления Позиционные Непозиционные системы счисления, в которых от положения знака в записи числа зависит величина, которую он обозначает. системы счисления, в которых от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Десятичная система счисления, Вавилонская система счисления Римская, система славянских цифр, египетские иероглифы, цифры племен майя, системы островитян, финикийцев, сирийцев, греков. Содержание конец

В любой позиционной системе счисления выделяют такие понятия как алфавит, основание (мощность алфавита), и базис системы.алфавитоснованиемощность алфавита базис Содержание конец

мощностью алфавита. называют основание системы назад

Основанием системы принято называть количество используемых цифр. Например, в десятичной системе счисления основание равно 10. Это цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. назад

Алфавитом называется множество цифр, используемых при записи чисел в данной позиционной системе счисления. Например, для системы с основанием 10 имеем следующий алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9(всего 10 цифр). назад

Базисом позиционной системы счисления с основание n называется последовательность чисел n 0,n 1,n 2,….

Замечание! За основание позиционной системы счисления можно принять любое натуральное число большее 1. Содержание конец

Таким образом, для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n арабских цифр. Вот примеры алфавитов нескольких систем: Основание СистемаАлфавит n=2 двоичная 0, 1 n=3Троичная 0, 1, 2 n=8Восьмерич- ная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 n=10 десятичная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Содержание конец

Если основание n меньше или равно 10, используют n первых арабских цифр, а при n большем 10 к арабским цифрам добавляют буквы Так алфавит шестнадцатеричной системы (n=16) состоит из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F. Содержание конец

Как по записи числа определить, о какой системе счисления идет речь? Число 10 может трактоваться по разному: во-первых, как «десять» в десятичной системе счисления, как «один и ноль» в двоичной системе. Для того, чтобы не было путаницы, принята специальная форма записи: основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу. Например, , и т.д. Содержание конец

Всякое число N в позиционной системе счисления может быть представлено в виде суммы произведений некоторых коэффициентов на соответствующие степени основания системы. Множество всех степеней основания данной системы называется базисом системы. Основание системы Число в десятичной системе Представлениебазис = = =1 х х х ,10 1,10 2,… =1 х 8+1 х 4+1 х 2+0 х 1= =1 х х х х ,2 1,2 2,2 3 … =1 х х ,8 1,… Содержание конец

Таким образом, всякое число N можно записать в виде: N=a n n m +a n-1 n m-1 +…+a 1 n 1 +a 0, где n 0,n 1,n 2,… - базис системы. А что же из себя представляют коэффициенты a n,a n-1,…a 0 ? Нетрудно заметить, что они являются цифрами числа, записанного в системе счисления с основанием n. Действительно, в разложении числа 127 a 0 =7, a 1 =2, a 2 =1. Записывая теперь число a 2 a 1 a 0,, мы получаем запись числа 127 в десятичной системе счисления. Значит, число = =16 8 Содержание конец

Иными словами, число 14, записанное в десятичной системе, в двоичной представлено как 1110 ( читается: «один, один, один, ноль»), в восьмеричной – 16 (читается: «один, шесть»). Основание n системы Число в десятичной системе Представление Число в системе с основанием n = = =1 х х х =1 х 8+1 х 4+1 х 2+0 х 1= =1 х х х х =1 х х Содержание конец

Замечание! Основание любой позиционной системы счисления записывается как 10 n («один, ноль» в этой системе)! Пример. Число 2 в двоичной системе 10 2, Содержание конец

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n арабских цифр. Вот примеры алфавитов нескольких систем: Основание СистемаАлфавит n=2 двоичная 0,1 n=3 троичная 0,1,2 n=8 восьмеричная 0,1,2,3,4,5,6,7 n=10 десятичная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 назад Содержание конец

Проверь себя! 1. Число 8, записанное в десятичной системе счисления, имеет разложение 8=8 х В системе с каким основанием это число представляется в виде 8=1 х х х х 2 0 ? n=4 n=3 n=5 n=2 Содержание конец

Ошибочка! Разве у нас есть цифра 10 в алфавите двоичной системы счисления? подумай еще Содержание конец

Укажи базис этой системы Как прочитать число ? 1. «десять, ноль, ноль» «десять, ноль, ноль» 2. «тысяча» «тысяча» 3. «один, ноль, ноль, ноль» «один, ноль, ноль, ноль» 1, 3, 3 2, 3 3, …2 0, 2 1, 2 2, 2 3 1, 2, 4, 8, 16, … 1, 4, 16, 32, … Содержание конец

Молодец! Дальше?

Скажи честно, ты сам догадался или тебе кто-то подсказал?сам догадался подсказал

Умница! Ты все понял правильно. Не хочешь ли узнать, как переводить числа из одной позиционной системы счисления в другую?

Перевод чисел из одной позиционной системы в другую. Таким образом, раскладывая десятичное число на слагаемые, содержащие степени n, получаем запись этого числа в системе с основанием n. Однако, предоставить такое разложение не всегда легко, например попробуйте разложить число 157. Существует другой способ: данное десятичное число- делится с остатком на основание системы. Полученный остаток это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй справа цифре и т.д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное – старшая цифра искомого числа. Содержание конец

Данный алгоритм перевода чисел показан на примере числа Число =а 3 а 2 а 1 а 0 = = основание 1 новой системы а 0 а 0 а 3 а 3 а 1 а 1 а 2 а 2 Содержание конец

Итак, мы научились переводить числа из десятичной системы в любую другую. Возможно ли осуществить обратный процесс? Пусть у нас есть число Много это или мало? Чтобы ответить на этот вопрос, потребуется записать данное число в десятичной системе. Но как это сделать? Представьте себе, что некоторое число Х 10 = Чтобы получить запись числа Х в троичной системе счисления, надо (1 способ) разложить его в виде произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания, т.е. записать так: Х 10 =2 х х х 3 2 =2+3+9=14. и мы снова получили число 14. Теперь мы знаем, что = = Записав его в системе с основанием 4 получим 32 («не тридцать два», а «три, два»). Сравнив запись одного и того же числа в разных системах счисления, заметим: чем больше основание, тем меньше требуется цифр, чтобы его записать. Рассмотрим алгоритм перевода в десятичную систему.

Алгоритм перевода в десятичную систему счисления Пусть дано число Переведем его в десятичную систему. Для этого проделаем следующее: 1. Запишем число Подпишем над каждым разрядом соответствующую степень основания, т.е. двойки. 3. Устно перемножим цифры, стоящие на одной вертикали и сложим их. Полученный результат – число в десятичной системе счисления = Содержание конец

Перевод дробных чисел Пусть дано число 101,11 2. Для того, чтобы его перевести в десятичную систему, согласно алгоритму, надо умножить цифры, стоящие в каждом разряде на соответствующие степени основания – двойки, а затем полученные результаты сложить.согласно алгоритму 101,11 2 =1 х х х х х 2 -2 =5,75 10 Содержание конец

Ты не прав! попробуешь еще раз или вернешься к теории

Позиционная система счисления – система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы, т.е. одна и та же цифра в зависимости от позиции в записи числа обозначает разные величины. назад назад

Непозиционная система счисления – система счисления, в которой от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Пример – Римская система счисления назад

Потребность в записи чисел появилась в древние времена, когда люди начали считать. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек. Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще вели десятками. Из счета десятками и выросла современная десятичная система. В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и так далее. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками – цифрами.

Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз знак десятков и четыре раза знак единицы. Такой способ записи соответствует так называемой непозиционной системе счисления, т.е. системе счисления, в которой от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. назад назад

Алфавитная система счисления Характеризовалась тем, что каждая буква алфавита означала ту или иную цифру. В славянской алфавитной нумерации, чтобы избежать путаницы, над буквами ставился специальный знак – титло (~). Самая большая величина называлась «колода», и была равна К алфавитным системам счисления относится и греческая нумерация, получившая название ионической.

Названия и изображения чисел приведены в таблице Числоназваниеизображение 10 6 Тьма Легион Леодр Ворон Колода Назад

Вавилонская система записи чисел Вавилонская система имела основанием 60, и особую роль в ней играли числа 60, 60 2 = 3600 и т.д. В записи чисел пользовались специальным значком – вертикальным и горизонтальным клином. Вертикальный клин обозначал 1, горизонтальный – 10. Вавилонская система была неудобна из-за своей громоздкости и забыта, но ее элементы прочно вошли в нашу жизнь. Это деление часа на 60 минут, круга на 360 градусов. назад назад

Римская система счисления Семь чисел обозначаются буквами: 1-I50-L 100-C5-V 10-X500-D 1000-M Остальные числа записываются комбинациями этих букв возврат Правила записи чисел Если в комбинации буквы идут в порядке от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются. Например, ХХV означает =25. Если какие-то буквы нарушают порядок, то их значения вычитаются из значения следующей буквы. Например, IV = 5-1= 4

Десятичная система счисления Пришла из Индии, где она появилась не позднее 6 века нашей эры. В ней всего 10 цифр, но информацию несет не только цифра, но и место (позиция), в которой она находится в записи числа. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число десятков и т.д. Так число 1995 состоит из 5 единиц, 9 десятков, 9 сотен и одной тысячи. 1995= = х х х Базис десятичной системы – это последовательность чисел 10 0,10 1,10 2,10 3,…

Запись цифр десятичной системы счисления прошла длительную эволюцию. Время изменило внешний облик цифр. Если в 12 в. цифры имели следующий вид:

То уже в 1580 г. в книге «Зеркало Вселенной» англичанина Какстона они изображаются так: И лишь в 1522 г. в книге итальянца Тонсталля они принимают привычный нам вид.

Любопытно, что в Индии цифры тоже видоизменились и к началу 20 в. выглядели так: назад

Существовали племена, в языке которых было всего 2 числительных: «один» и «два». Большие числа представлялись комбинациями. Так, например, у островитян «урапун» означало единицу, «окоза» - двойку. Числа, начиная с 7, имели единственное обозначение – много. Но вскоре счета до 7 стало не хватать. Считать стали при помощи пальцев рук, ног и других частей тела. Например, те же островитяне для счета употребляли локти, запястья, плечи. назад

Иероглифическая система древних египтян Около 3 – 2,5 тыс. лет до новой эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 10, 100, 1000 и т.д. – изображались специальными значками. Египтяне высе- кали их на стенах погребальных камер, писали на свитках папируса.

Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, запись справа расшифровывалась так: две тысячи, три сотни, два десятка и четыре единицы.

Величина числа, записанного в иероглифической системе, не зависит от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки. Даже если записать их справа налево, один под другим или вперемешку – число от этого не изменится. В результате упрощений и стилизации от иероглифов позднее произошли условные знаки, облегчающие письмо от руки. Они легли в основу так называемого иератического письма (священного). Эту систему записи можно обнаружить и в более поздних египетских папирусах. Сейчас древнего египетского письма нет. Уцелели два математических папируса, раскрывающие тайну древнеегипетского счета.

Египтяне считали десятками. Однако особую роль играла и двойка со своими степенями (2,4,8,16,…). Где же она находила свое применение? Степени двойки использовались при умножении и делении чисел. Пусть, надо умножить 19 на 94. Египтяне последовательно удваивали число 94, результаты записывали в правом столбце, а степени двойки в левом. Это делали до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (19=1+2+16). Затем складывали числа правого столбца, соответствующие слагаемым составленного делителя = *19=1786 назад

Счет и цифры индейцев майя Индейский народ майя, обитающий на территории Центральной Америки, в начале новой эры представлял числа примерно так, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другими основаниями – пятерично- двадцатеричную. Простейшими цифрами у них были черточки и точки, которыми записывались числа от 1 до 19. Точками они обозначали единицы от 1 до 4, черточкой – 5.

Так запись означала число 8, а - число 19. Основную роль в системе майя играла «искаженная» двадцатеричная система счисления. Если вавилонская система основана на различных степенях числа 60, то у майя такими ключевыми числами выступали 20, 18 х 20, 18 х 20 2, 18 х 20 3,…При записи числа цифры-кирпичики записывались одна под другой. назад

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова, (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во 2-3 вв., западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости. назад назад

Тест для тех, кто любит историю 1. Для обозначения этого числа у многих народов использовался один и тот же символ. 1. десять 3. одиндесятьодин 2. сто 4. шестьдесят сто шестьдесят 2. К иероглифическим системам не относится 1. Римская 3. Ионическая РимскаяИоническая 2. Египетская 4. Финикийская ЕгипетскаяФиникийская содержание

1. Какое число зашифровано римскими цифрами MCMXCIV? Какое число получится, если сложить MXLVII и MCMLIII ? В какой системе счисления «тьма тем является легионом, легион легионов есть леодр, леодр леодров - ворон»? Сирийской Сирийской Славянской Славянской Вавилонской Вавилонской Египетской Египетской Содержание

В какой системе счисления для обозначения цифр использовался специальный знак – клин? Египетской Римской Вавилонской Греческой Зная набор египетских иероглифов, прочти число: Содержание

Где зародилась десятичная система счисления? в: Индии Китае Вавилоне Вавилоне Египте Египте Какие народы считали с помощью различных частей тела, в том числе и с помощью локтей, запястья, кисти? Вавилоняне Вавилоняне Славяне Славяне Римляне Римляне Островитяне Островитяне Содержание

Тест по основным понятиям темы Позиционная система счисления – это: 1. система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. 2. система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от ее позиции. система, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от ее позиции. Примером позиционной системы является: Римская Вавилонская РимскаяВавилонская Египетская Цифры племен майя ЕгипетскаяЦифры племен майя Содержание

Выберите правильное утверждение Существует одна позиционная система. Существует конечное множество позиционных систем. Существует бесконечно много позиционных систем. Закончите фразу: мощностью алфавита называется: Базис системы счисления Основание системы счисления Каково наименьшее основание для позиционной системы счисления? Содержание

Прочтите шуточный стишок и ответьте на вопрос: в какой системе счисления живет девочка? Ей было тысяча сто лет, Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред.Ответы: Когда пыля десятком ног, Она шагала по дороге,троичнойтроичной За ней всегда бежал щенокдвоичнойдвоичной С одним хвостом, зато стоногий.шестнадцатеричнойшестнадцатеричной Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали, И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Содержание

Система счисления, в которой 8+1=10 является… двоичнойдвоичной девятеричнойдевятеричной восьмеричнойвосьмеричной десятичнойдесятичной Как не может быть записано число в пятеричной системе счисления Десятичное число 7 в двоичной системе счисления записывается как Содержание

Каким соотношением связаны числа: и ? > < = > < = В учебном центре учатся 213 человек – 122 юноши и 41 девушка. Количество учащихся подсчитано в системе счисления… двоичнойдвоичной четверичной четверичной троичнойтроичной пятеричнойпятеричной Содержание

Вот пожалуй и все. Если даже у тебя не все получалось, то не расстраивайся. Ты можешь начать сначала.сначала

На этом мы расстаемся… Если конечно ты не хочешь начать все сначала

Литература: 1. «Методика преподавания информатики» М.П. Лапчик, И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер, Москва Academa, Детская энциклопедия по математике, Атланта, 1999 г. 3. Учебники по базовому курсу информатики 4. Немов, «Психология», 1995 г. содержание

Ошибочка вышла! подумаешь сам или подсказать

Базисом позиционной системы счисления с основание n называется последовательность чисел n 0,n 1,n 2,…. назад

Неверно! подсказка еще попытка

Всякое число N в позиционной системе счисления может быть представлено в виде суммы произведений некоторых коэффициентов на соответствующие степени основания системы. Множество всех степеней основания данной системы называется базисом системы. Основание системы Число в десятичной системе Представлениебазис = = =1 х х х ,10 1,10 2,… =1 х 8+1 х 4+1 х 2+0 х 1= =1 х х х х ,2 1,2 2,2 3 … =1 х х ,8 1,… вернуться

Неплохо! Для начала… Но справишься ли ты со следующим вопросом?

Отлично, ты справился с этим заданием! Попробуй ответить на следующий вопрос

Увы, это не так! Попытаешься еще или показать ответ

Правильный ответ – один! У многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости. далее

Это не так! Показать ответ Не показывать

Ответ – ионическая! Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. далее

Твоей смекалке можно позавидовать! Тебя ждет еще много интересных вопросов Идем дальше

Промах! Вернуться ответ

Правильный ответ Согласно правилам римской системы счисления: MCMXCIV=1000+( )+(100-10)+(5-1)= =1994 Идем дальше

Пересчитаешь заново? Выдать ответ?

Правильный ответ Складывая VII и III, получаем 10, значит на конце искомого числа стоит 0. Методом исключения получаем ответ. далее

Правильный ответ – в славянской системе счисления Но не унывай, чем дальше тем интересней далее

Верно

У тебя хорошая память Идем дальше

Гадать не будем! В вавилонской системе счисления далее

Система иероглифов непозиционная, а значит, цифры в записи числа складываются. Методом исключения легко отгадать число, т.к. на конце четыре единицы. далее

Верно! дальше

Правильный ответ - в Индии дальше

Угадал! Это был последний вопрос этого теста, поздравляю! Впереди другой тест, будешь проверять свои силы? да нет

Правильный ответ - островитяне Пусть с ошибками, но ты справился с вопросами этого теста Попытаешь свое счастье еще раз да нет

верно

Не знаешь определения! далее

Можешь поставить себе «+» дальше

неверно

Очень за тебя рад. Молодец! Но справишься ли ты со следующим вопросом? далее

Переходи к другому вопросу. Этот тебе не под силу. Следующий вопрос

Отлично! далее

У тебя есть шанс ответить на вопрос следующий

Ты держишься молодцом! До финиша осталось немного! Вперед к финишу

Что то ты поспешил! Ну нечего осталось еще несколько вопросов! У тебя все получится! Следующий вопрос

Ты поспешил, но ничего в целом отвечал неплохо!