Основные понятия Скрещивающиеся прямые Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ: ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется длина их общего перпендикуляра. a b A B

A B α α β ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАХОЖДЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b а) «Расстояние между параллельными плоскостями» a b

B A α б) «Расстояние от проекции до проекции» 1)Построим BC || a, где C = (BC) b 2)Построим (CD) || (AB), где D = (CD) a 3)Тогда ABCD – прямоугольник и AB – общий перпендикуляр к a и b: | AB | = ρ ( a; b) a b1b1 b C D

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: За величину угла между двумя скрещивающимися прямыми a и b принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке M прямыми a 1 и b 1, то есть За величину угла между двумя скрещивающимися прямыми a и b принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке M прямыми a 1 и b 1, то есть где a 1 | | a и b 1 | | b, a 1 b 1 = {M} где a 1 | | a и b 1 | | b, a 1 b 1 = {M} a b M a1a1a1a1 b1b1b1b1

Нахождение угла с использованием проекций Таким образом, взяв на прямой b отрезок длины x и найдя длину y его проекции на плоскость, получим b a b1b1b1b1

1. Найдите ( (AB); (C 1 D) ) и 1. Найдите ( (AB); (C 1 D) ) и ρ ( (AB); (C 1 D) ) ρ ( (AB); (C 1 D) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

2. Найдите ( (A 1 B); (C 1 D) ) и 2. Найдите ( (A 1 B); (C 1 D) ) и ρ ( (A 1 B); (C 1 D) ) ρ ( (A 1 B); (C 1 D) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O

3. Найдите ( (AA 1 ); (CB 1 ) ) и 3. Найдите ( (AA 1 ); (CB 1 ) ) и ρ ( (AA 1 ); (CB 1 ) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

4. Найдите ρ ( (CD 1 ); (DB 1 ) ) и ( (CD 1 ); (DB 1 ) ). Ребро куба равно 1. ( (CD 1 ); (DB 1 ) ). Ребро куба равно 1. B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O K

5. Найдите ( (AD); (PO) ) и 5. Найдите ( (AD); (PO) ) и ρ ( (AD); (PO) ) B A C D P O K

6. Найдите ( (BD); (PC) ) и ρ ( (BD); (PC) ) ρ ( (BD); (PC) ) B A C D P O H н а к л о н н а я п р о е к ц и я

7. Найдите ( (AA 1 ); (DB 1 ) ) и 7. Найдите ( (AA 1 ); (DB 1 ) ) и ρ ( (AA 1 ); (DB 1 ) ). Ребро куба равно а. ρ ( (AA 1 ); (DB 1 ) ). Ребро куба равно а. B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O

8. Найдите ( (D 1 P); (AD) ) и 8. Найдите ( (D 1 P); (AD) ) и ρ ( (D 1 P); (AD) ), если | DP | = | PC |. Ребро куба равно а B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 P H

9. В прямой призме в основании лежит разносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Найдите расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающимся с ним ребром основания длины c. 9. В прямой призме в основании лежит разносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Найдите расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающимся с ним ребром основания длины c.

10. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AD 1 ) и (CE 1 ), где D 1, E 1 – соответственно середины ребер A 1 C 1 и B 1 C 1.

11. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AB) и (CA 1 ). 11. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AB) и (CA 1 ).

12. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Найдите расстояние между прямыми: 1) АВ и СC1; 2) СC1 и В1D1; 3) АС и В1D1; 4) СC1 и ВD1 13. Ребро куба равно a. Найдите кратчайшее расстояние между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю основания куба. 14. Ребро правильного тетраэдра равно a. Найдите расстояние между двумя скрещивающимися ребрами тетраэдра. 15. АВСД и АВEF – равные прямоугольники. Известно, что ВС= a, угол СВЕ равен 90˚. Найдите расстояние между АВ и СF.

Подводим итоги

1. При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми проще использовать частные случаи нахождения расстояния: Если нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b, то строим плоскость α, перпендикулярную прямой а, прямую b проектируем ортогонально на эту плоскость и ищем расстояние от проекции прямой а на плоскости α до проекции прямой b. 2. Расстояние между диагональю куба (с ребром a) и скрещивающейся с ней диагональю грани равно 3. Расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных диагоналей куба (с ребром a) равно

С п а с и б о з а р а б о т у !