Применение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции на интервале Достаточный признак возрастания функции. Если f'(x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак возрастания функции. Если f'(x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f'(x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f'(x) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

Пример. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-5; 10). Пример. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-5; 10). Найдите промежутки возрастания функции. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них. В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 3

Пример. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале (-1; 17). Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 7

Пример. На рисунке изображён график производной функции f(x) и восемь точек на оси абсцисс: х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6, х 7, х 8. В скольких из этих точек функция возрастает? Ответ: 5

Пример 1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­ лен­ной на ин­тер­ва­ле (11; 3). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те длину наи­боль­ше­го из них Пример 2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции и во­семь точек на оси абс­цисс:х 1, х 2, х 3, х 4, х 5, х 6, х 7, х 8. В сколь­ких из этих точек функ­ция воз­рас­та­ет? Ответ: 6 Ответ: 3

Пример 3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ ва­ле (6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на. Ответ: 4 Пример 4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции, опре­де­лен­ной на ин­тер­ ва­ле (5; 5). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ ная функ­ции от­ри­ца­тель­на. Ответ: 7

Точки максимума и минимума функции Определение: Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Ответ: -5+(-4)+(-2) =0 Пример. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функции y = f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-6; 7). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x).

Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f', то она равна нулю: f'(x 0 )=0. Пример. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­ де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-1; 12). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0. Ответ: 7

Пример 1. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­ лен­ной на ин­тер­ва­ле (7; 5). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x). Пример 2. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (5; 5). Най­ди­те ко­ ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­ вод­ная функ­ции f(x) равна 0. Пример 3. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­ лен­ной на ин­тер­ва­ле (-3; 8). Най­ ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции равна 0. Ответ : 0 Ответ: 4 Ответ: 8.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f'(x) > 0 на интервале (а, х 0 ) и f'(x)< 0 на интервале (х 0,b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке х 0, а f'(x) 0 на интервале (х 0,b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. f'(x) + х 1 - х 2 + х 3 - f(x) max min max

Пример. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-13; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [-11; 8]. Ответ: 5 Пример. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­ лен­ной на ин­тер­ва­ле (-18; 6). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [-15; 5]. Ответ:

Пример 4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (11; 11). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек экс­тре­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [10; 10]. Пример 5. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­ лен­ной на ин­тер­ва­ле (7; 14). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ ции f(x) на от­рез­ке [6; 9]. Ответ: 5 Ответ: 1

Пример. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-5; 7). В какой точке от­рез­ка [-3; 1] функция f(x), при­ни­ма­ет наи­боль­ шее зна­че­ние? Ответ: -3

Пример 6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции y=f(x), опре­ де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-8; 3). В какой точке от­рез­ка [-2; 2] функция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние. Пример 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (-8; 4). В какой точке от­рез­ка [-7; -3] f(x) при­ ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние? Ответ: -2 Ответ: -7

Пример 8. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x) одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), определённой на ин­тер­ва­ле (3;5). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)=0 на от­рез­ке [2;4]. Пример. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y = F(x) одной из пер­ во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (-2; 4). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния f(x)=0 на от­рез­ке [1; 3]. Ответ: 7 Ответ: 10 F'(x) = f(x)

Физический смысл производной Производная – это скорость протекания любого процесса Производная от координаты по времени есть скорость x ' (t) = v(t) Производная от скорости по времени есть ускорение v ' (t)= a(t)

Пример. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну x(t) = -t 4 + 6t 3 + 5t +23 (где x рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t=3 с. Решение: v(t) = x ' (t), v(t) = -4t t 2 + 5, v(t) = = 59 Ответ: 59 Ответ: 20 Решение: v(t) = x ' (t), v(t) = 1,5t 2 – 6t + 2, v(t) = 1, = 20

Ответ: 7 Решение: v(t) = x ' (t), v(t) = t 2 - 6t - 5, v(t) = 2 м/с, t 2 - 6t – 5 = 2, t 2 - 6t – 7 = 0 t = -1, t = 7

Спасибо за работу!