В. И. Дихтяр МАТЕМАТИКА Российский университет дружбы народов Институт гостиничного бизнеса и туризма Раздел 1. Основы математической логики, функции, линейная алгебра Тема 1.1. Введение в теорию множеств Москва 2014

Множество X совокупность определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимых как единое целое Объекты элементы множества X x X или x X 2

A = {х 1, х 2,..., х n } конечное множество A, состоящее из элементов х 1, х 2,..., х n Множества чисел (бесконечные): N – натуральных, Z – целых, Q – рациональных, R – действительных. 3

Р(х) некоторое предложение, зависящее от х: если на место х подставить любой конкретный объект истинное (T) или ложное (F) утверждение Р(х) = «х делится на 5» Р(10) = Т, Р(7) = F А = {х | Р(х)} означает, что а А Р(а) = Т (тогда и только тогда) 4

A = B они состоят из одних и тех же элементов: a A a B и b B b A А подмножество В: А В, если a A a B (А включено в В или В включает А) 5

1. А А 2. А В и В С А С 3. А В и В А А = В 4. A ( A) 5. a A определяет {а} А (подмножество) 6. Строгое включение А В означает А В и А В P(А) – множество-степень множества А множество всех подмножеств А : P(А) = {D | D А} [ card P(A) = 2 card A ] 6

Объединение А В = {х | х А или х В} Пересечение А В = {х | х А и х В} А В А А В Дополнение А = {х | х, х A} 7

8 Объединение Пересечение Дополнение

расчлененная система непустых подмножеств Ω = { X |, = }, такая что x X является элементом некоторого (и, значит, единственного) множества системы Ω 1) Пазлы 2) Х = {1, 2, 3, 4, 5} Ω - {{1, 2}, {3}, {4, 5}} 9

1 и 1' ассоциативные законы, 2 и 2 ' коммутативные законы, 3 и 3' дистрибутивные законы 1. A (B C) = (A B) C 2. A B = B A 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A = A 5. A A = 1'. A (B C) = (A B) C 2'. A B = B A 3'. A (B C) = (A B) (A C) 4'. A = A 5'. A A = 10

Свойства (1-13) – (1`-13`) фигурируют попарно и образуют двойственные выражения:, Принцип двойственности: для тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством 11

В тетради в красной рамочке проверить принцип двойственности на примере сравнения левой и правой частей таблицы Алгебраические свойства на слайдах

Декартово произведение X и Y множество всевозможных упорядоченных пар: {(х, y) | х X, у Y} = X Y Отношение r из Х в Y: r X Y Два объекта бинарное отношение (х, у) r х находится в отношении r с у х r у 13

Рефлексивность: x X находится в этом отношении сам с собой: (x r x) Симметричность: (x r y) (y r x) Транзитивность: (x r y) и (y r z) (x r z) Антисимметричность: (х r у) и (у r х) (х = у) 14