Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Шахмайкинская средняя общеобразовательная школа Новошешминского муниципального района Республики Татарстан» Проектная работа: «Применение производной к исследованию функций» Салахова Альсина Ильгизовна, 11 класс, Салахова Резида Анваровна, учитель математики 2014 год

Цель работы: научиться находить решение задачи, используя свойства функций и свойства производной функции. Задачи работы: систематизировать, расширить и углубить теоретические знания по курсу применения производной к исследованию функции; рассмотреть различные методы решения задач; применить эффективный способ при решении конкретных задач.

Типы задач В9 (ЕГЭ): По уравнению касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х 0, нужно определить значение производной в точке х 0. Зная производную функции, нужно делать выводы: – о промежутках возрастания функции, – о промежутках убывания функции, – о ее точках максимума, – о ее точках минимума, – выяснять, в каких точках функция принимает наибольшее значение, – выяснять, в каких точках функция принимает наименьшее значение.

Значение производной функции f(x) в точке x 0 равно угловому коэффициенту касательной. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной. Знак производной можно определить по рисунку так: если касательная возрастающая - то производная положительна, если убывающая - то отрицательная. построим треугольник АВС. ВС = 9, длина АС = 3. Отсюда искомое значение производной равно f'(x 0 )=9/3=3 9 3

2 8 Знак производной отрицательный, так как касательная убывающая. Ответ:-2/8= - 0,25

Проводим касательную и вычисляем. f (x)=tgα=6:4=1,5 Ответ:1,5

Ответ:4 Необходимо выделить промежутки убывания функции и сосчитать количество целых чисел.

Ответ: 5

Ответ: =16

В какой точке отрезка [5;6] f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: 5 Для начала отметим на рисунке границы отрезка, о котором идет речь в условии задачи. Заметим, что на этом отрезке производная функции положительна, значит, сама функция f(x) возрастает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает в левом конце отрезка, то есть в точке 5

В какой точке отрезка [0;4] f(x) принимает наибольшее значение? Ответ: 0 Заметим, что на этом отрезке производная функции отрицательна, значит, сама функция f(x) убывает.наибольшее значение на этом отрезке она принимает в левом конце отрезка, то есть в точке 0

Найдите точку экстремума функции f(x) принадлежащую отрезку [-2;4]. Ответ: -1,5 Заметим, что на этом отрезке производная функции один раз обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак, откуда ясно, что точка -1,5 и есть искомая точка экстремума функции на отрезке.

Найдите количество точек максимума функции Ответ: 2 В точке максимума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек два.

Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Ответ: 6 Нам необходимо сначала найти промежутки убывания функции. В нашем случае их 2, наибольшая длина равна 6.

Найдите количество чисел, что касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2x+81 или совпадает с ней. Ответ: 3 Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y=-2 х+81 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2, а значит, нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна -2. Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии.

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа) ЕГЭ 2013, Математика, И.В.Ященко, П.И.Захаров. Геометрический смысл производной, Рабочая тетрадь, Москва Издательство МЦНМО, 2013 Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, А.Г. Клово, Математика, Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ, Ростов – на - Дону, 2011 Литература: