Тема: Исследование функции с помощью производной. Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений. «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал её настолько ясной, что берешься изложить её содержание первому встречному». Д. Гильберт

Цель урока: обобщение изученного материала по теме; формирование умений применять математические знания к решению практических задач; развитие познавательной активности, творческих способностей; воспитание интереса к предмету.

Ход урока. I. Рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли надо». Крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал, наконец, желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 руб. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р=40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? ВС А Д Р40 a b S

Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Задание: По условию рассказа составить функцию и исследовать на экстремум. Решение: Если стороны прямоугольника х и у, то х + у= 20. S=xy; S=x(20-x)= -x 2 +20x S(x)= -2x+20; S(x)=0, х =10.

II. Использование ситуаций, приведенных в пословицах. А теперь, чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, обратимся к пословицам, потому что пословицы отражают устойчивые закономерности и проверены многовековым опытом народа. Аналогия с пословицами позволит вам лучше понять и запомнить определенные свойства функции и будет служить своего рода опорным сигналом для запоминания свойств функций. 1. Чем дальше в лес, тем больше дров Кол - во дров Продвижение в лес Высота скачка Длина 2. «Выше меры конь не скачет»

3.«Пересев хуже недосева» III. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек? Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=5x 3 -x(x-1) на отрезке [0;2]. f(a) - max Урожай a-δ x=a a+δ Точка минимума

Решение. Заданная функция непрерывная на всей числовой прямой и, в частности, на данном отрезке. Если x1, то y=5x 3 -x(x-1)= 5x 3 -x 2 +x; Если x

а) Если 0

IV. Метод поиска наибольшего и наименьшего значений функции применим к решению. При этом действуют в такой схеме: 1) Задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x); 2) Средствами анализа ищем наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3) Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат. Вообще, решение практических задач средствами математики, как правило, содержит 3 основных этапа: 1) формализация (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полученной математической задачи; 3) интерпретация найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

Задача. Расстояние от песчаного карьера да кирпичного завода, расположенного на прямолинейной автомагистрали, равно 30 км. Песчаный карьер удален от магистрали на 24 км. Строительный кооператив взял подряд на строительство подъездной дороги от карьера до автомагистрали. На каком расстоянии от кирпичного завода должна находится развилка дорог, чтобы время доставки грузов от карьера до завода было наименьшим, если известно, что автомашины могут развивать на магистрали скорость 52 км/ч, а на подъездной дороге 20 км/ч? Решение. АК=30, ВК=24, МА - ? 576+х 2 24 К ВМА 30 х 18-х

Тогда Пусть ВМ=х, тогда АМ=18-х, где х є (0;18). D(f ) = R D(f ! ) = R f ! (x) = 0, если 169 х 2=25· х 2, 144 х 2=25·576,х 2=100, х 1=10, х 2=-10, но х 2 є [0;18]

Значит МВ=10, тогда МА=8. Ответ. Для того чтобы время доставки грузов от карьера до завода было наименьшим развилка дорог должна находиться на расстоянии 8 км от кирпичного завода.

V. Исследование функций с помощью производной. 1. Вопросы: а) Исследование каких свойств функций производится с помощью производной? б) Сформулировать достаточный признак возрастания (убывания) функции. в) Какие точки называются критическими? г) В чем состоит достаточный признак существования экстремума? 2. Задача. Исследовать функцию f(x)=(1+4x2)/x, построить график. Определить, при каких значениях а уравнение (1+4 х 2)/х=а имеет одно решение? Решение. D (f)= (-;0)U(0;+). f(x) непрерывна в каждой точке области определения. f(x)=0, если (1+4 х 2)/х=0. Такого х не существует. f(x)>0 при х>0 и f(x)

f(x)=1/x+4x x=0 – вертикальная асимптота; у=4 х – наклонная асимптота. xmax=-1/2, y(-1/2)= -4; xmin=1/2, y(1/2) = 4. Ответ. Уравнение (1+4 х 2)/х=а имеет единственное решение при а=±4. -1/ maxразрыв 01/2 min 0 а=4 у=4 х f(x)=(1+4x2)/x а= - 4 х у

VI. Домашнее задание: 1) ) Придумать задачу практического содержания на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции. 3) Найти промежутки возрастания и убывания функции 4) Найти ООФ 5) Найти экстремумы функции у=х 2 +2-х+1.