1 Логарифмы Электронное пособие по теме: Автор: преподаватель ФГОУ СПО «Алатырский сельскохозяйственный техникум» Н.А. Фирсова

2 Как работать с пособием Тема разбита на три основных раздела, в каждом из которых выделяются подразделы: логарифм числа (Р1) логарифмическая функция (Р2) логарифмические уравнения и неравенства (Р3) Перемещение по разделам и подразделам, а также обращение к тестам и программе Graphics32 а происходит по гиперссылкам. Условные обозначения: возвращение в начало темы «Логарифмы» возвращение в начало соответствующего раздела Тест переход к тестам График переход к программе построения графика Р1 Т

3 3 Логарифмическая функция Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения и неравенства 21 Логарифм числа 4 Тесты 5 Это интересно…

4 Логарифм числа Определение логарифма Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы Примеры и задачи Проверь себя Т

5 Определение логарифма Пример: представить число 2 в виде логарифма по основанию 3. 2= log 3 9

6 Определение логарифма можно записать в виде формулы. Которую обычно называют основным логарифмическим тождеством. Р1Р1

7 Свойства логарифмов Формулы Пример log а а=1 log 3 3=1 log а 1=0 log 4 1=0 log а a r =r log =2 log а b r =rlog а b log =4log 2 3 log а b +log а c=log а (ab) log 2 3+log 2 5= log 2 15 log а b -log а c=log а (a/b) log log 2 5= log 2 0,6 log a b=log c b log 2 5= log 3 5 log c b log 3 2 log a b =__1___ log 2 3= __1___ log b а log 3 2 Р1Р1

8 Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10 и пишут log 10 x= lgx lg 10=1 lg 0,1=-1 lg 2 100=2 lg 0,01=-2 lg 10000=4 lg 0,001=-3 Если основание логарифма е, то логарифм называется натуральным: Пишут lnx вместо log а x. log e b= ln b Р1Р1

9 Вычислить log 2 16 = log 2 (1/8) = log 1/3 (1/9)= log 5 125= log 0,5 (1/8)= log 1/2 (64)= log 2 (2)= log 5 1=

10 Вычислить 2 log 2 (1/8) = 10 lg 8 = 0,3 2log 0,3 6 = 4 log 2 3 = lg 5 = 2 -2log 2 7 = log 2 log 5 625= 1/ /49 2

11 Логарифмирование – это преобразование, при котором выражение с переменными приводится к сумме или разности выражений переменных. Прологарифмировать алгебраическое выражение : х = ab 3 c 2 = lg(ab 3 )-lg (c 2 )= lg(a)+ 3lg(b)-2lg(c) lg ab 3 c 2

12 Потенцирование- это преобразование обратное логарифмированию. Перейти к алгебраическому выражению lgХ= lga- 0,5lgb+2lgc= = lga-lgb 0,5 +lgc 2 =lgac 2 -lgb==lg(ac 2 / b) Х= ac 2 / b Р1Р1

13 Проверь себя Знаешь ли ты определение логарифма, основное логарифмическое тождество, логарифм произведения, логарифм частного формулу перехода к другого основанию? Представьте число 2 в виде логарифма по основанию 3. Тест «Логарифм числа» Р1Р1

14 Логарифмическая функция Связь логарифмической и показательной функции Связь логарифмической и показательной функции Примеры применения свойств логарифмической функции Примеры применения свойств логарифмической функции Проверь себя Т

15 Функция у=log а х, где а – заданное число, а >0, а 1, называется логарифмической функцией.

16 1. Область определения функции – множество всех положительных чисел. 2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3. Если 00). 2. Область значений функции – множество всех действительных чисел (R). 3. Если а >1, то функция является возрастающей. Р2

17 Графики функций у=a x и у=log a x симметричны относительно прямой у=х График В одной системе координат постройте графики функций у=(1/2) x и у=log 1/2 x. Перечислите свойства функций. Р2

18 Примеры применения свойств логарифмической функции 1. Найдем область определения функции У= log 8 (4-5 х). Область определения логарифмической функции- множество положительных чисел. Заданная функция определена для х, при которых 4-5 х >0. т.е. при х

19 Решим методом интервалов неравенство (2 х+3) >0 5-7 х /2 5/7 Область определения (-3/2; 5/7) 2. Найдем область определения функции У= log 7 (2 х+3) 5-7 х

20 3. Сравнить числа : а) log 5 6 и log 5 7; б) log 1/3 6 и log 1/3 7; в) log 3 10 и log а ) Логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает на всей числовой прямой. Так как 6 2, а log 4 12 log Р2

21 Проверь себя Верно ли, что логарифмическая функция : определена при х>0; является четной; не имеет экстремумов; имеет график, проходящей через точку(0;1); принимает все действительные значения? При каком условии логарифмическая функция возрастает(убывает)? Тест «Логарифмическая функция» Тест «Логарифмическая функция»Тест «Логарифмическая функция»Тест «Логарифмическая функция» Р2

22 Логарифмические уравнения и неравенства Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Задачи для самопроверки Т

23 Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log a х = b (а > 0, а 1, b>0 ) Решение: х = а b. Например, log 2 х= 3 Х=2 3.

24 Способы решения 1. Решение уравнений на основании определения логарифма Например, log 3 (х-2)= -1 Х-2= 3 -1 Х=2+1/3 Х=7/3.

25 2. Метод потенцирования: если, log a f(х)=log a g(х), то f(х)=g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1. Решите уравнения: lg(х 2 -6 х+9) - 2lg(х - 7) = lg9. Уравнение имеет смысл, если: (х 2 -6 х+9) >0, х 3, х-7 >0; х >7; х >7. С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду lg ((х-3)/(х-7)) 2 = lg9 применяя формулу логарифм частного. ((х-3)/(х-7)) 2 = 9, (х-3)/(х-7) = 3, или (х-3)/(х-7)= - 3, х- 3 = 3 х -21, х -3 =- 3 х +21, х =9. х=6. посторонний корень. Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9

26 3. Метод введение новой переменной. Решите уравнение: log 6 2 х + log 6 х -2 = 0 х >0 заменим log 6 х = t t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -2. log 6 х = 1, х = 6 log 6 х = -2, х = 1/36, проверка показывает, что 6 и 1/36 являются корнями. Ответ : 6; 1/36.

27 4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. Решите уравнение: Х log 3 x 2 = ЗХ, прологарифмируем уравнение по основанию 3 Получим log 3 Х log 3 x 2 = log 3 (3 х) Т.к. log а b r =rlog а b, то log 3 х 2 log 3 х = log 3 3 х, log 3 х log 3 х = log 3 3+ log 3 х, 2 log 3 2 х = log 3 х +1, 2 log 3 2 х - log 3 х -1=0, заменим log 3 х = t, х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t 1 =1, t 2 = -1/2 log 3 х = 1, х=3, log 3 х = -1/ 2, х= 1/3. Ответ: 3 ; 1/3.

28 5. Метод приведения логарифмов к одному основанию. Решить уравнение: log 9 ( х ) log 7-2 х 3 = 1, Уравнение имеет смысл, если: х >0, х< 37/12, 7-2 х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2 х 1; х 3; х 3; log 9 ( х ) / log 3 (7-2 х ) = 1, ½ log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ), log 3 ( х ) = log 3 (7-2 х ) 2, х= х +4 х 2, 4 х х +12 =0, х 2 -4 х +3 =0, Д=19, х 1 =1, х 2 =3, 3 –посторонний корень. Проверкой убеждаемся, что х=1 корень уравнения.

29 6. Решить графически уравнение: а) log 2 х= -х+1; б) log 0,5 х= х 2 б) Решите графически уравнение log 0,5 х= х 2 а) Построим графики функций у=log 2 х и у =-х+1 в одной системе координат. Графики пересекаются в точке с абсциссой х=1. Проверка показывает, что х=1 является корнем уравнения. Ответ: х=1. Р3 График

30 Задания для самопроверки Тест «Логарифмические уравнения и неравенства» log 2 (x-1) – 2 = log 2 (3x-7) – log 2 (x + 1) Р3 Ответы

31 Ответы 1.1,2 2.6, ; ;9 7.2;8 Р3

32 Логарифмические неравенства Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшие неравенства log а х > c log а х < c

33 Простейшие логарифмические неравенства Пример 1. log 2 х > 3 х >2 3 (по определению логарифма). Т. к. функция у=log 2 х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х >8 Пример 2. log 1/2 х > 3 х >0 ( О.Д.З) x < (1/2) 3 ( знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется, т. к функция у=log 1/2 х убывает на всей области определения). 0 < х < 1/8

34 Алгоритм решения логарифмического неравенства. 1. Найти (О.Д.З. ) область допустимых значений (под логарифмическое выражение больше нуля). 2. Левую и правую чисти неравенства в виде логарифмов по одному и тону же основанию: log а f(x) > log a g(x) 3. Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция. (если а > 1, то возрастающая; если 0 < а < 1, то убывающая). 4. Перейти к более простому неравенству (под логарифмически чешских выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает: log а f(x) > log a g(x) если а > 1, то если 0 < а < 1, то f(x) > g(x) f(x) < g(x)

35 Примеры решения логарифмических неравенств Пример 1. log 3 ( х+2) 3 О.Д.З: ( х+2) >0, Х >-2 log 3 ( х+2) log 3 27 Функция у=log 3 х возрастает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению не меняется. х+227 х Ответ: ( -2;25]

36 Пример 2. log 0,5 (x-1) > log 0,5 (3x+2) О.Д.З: х-1>0, x>1, 3Х+2 >0; x>-2/3. Следовательно, x >1 Функция У=log 0,5 х убывает, значит знак неравенства при переходе к подлагорифмическому выражению меняется. x-1 < 3x+2 x-3 х < х< 3 ( при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположенный) х>-1,5 Ответ: ( 1; ) -1,51 Р3

37 Тесты Тест 1 «Логарифм числа» Тест 2 «Логарифмическая функция» Тест 2 «Логарифмическая функция» Тест 3 «Уравнения и неравенства» Т

38 Логарифмы появились в 16 веке под влиянием все возрастающих потребностей практики как средство для упрощения вычислений. Основная идея логарифмов лежит в сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий: ÷ …… п …… ÷÷ Эти строки позволяют упрощать вычисления: сводить умножение к сложению, деление к вычитанию, возведение в степень к умножению, извлечение корня к делению. Например, что бы перемножить числа нижнего ряда 8 и 64, мы складываем числа верхнего ряда 3 и 6, находим в нижнем ряду ответ под цифрой 9. Объяснение кроется в свойствах степеней: 8 · 64 = 2³ · 2 = 2³ = 2 = 512. Аналогично объясняется и упрощение других вычислений с числами нижнего ряда с помощью чисел верхнего ряда. Числа верхнего ряда и называются логарифмами чисел нижнего ряда. Изобретением логарифмов мы обязаны Джону Неперу- шотландскому математику. Работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов» появилась в 1614 году, а в 1629 году были напечатаны логарифмические таблицы швейцарского математика, астронома и часовщика Иобста Бюрги, которые были написаны еще в 1610 году! Эти ученые, работая параллельно, пришли к похожим результатам! Т

39 Логарифмы в природе В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмическ ой спирали. Логарифмическую спираль можно увидеть в природе: известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом они растут во всех направлениях. Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Что бы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться, причем рост сохраняется так, что сохраняется подобие раковины с ее первоначальной формой. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. Или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, а также рога некоторых млекопитающих, как архары, закручены по логарифмической спирали. Т

40 Музыка логарифмов Музыканты, играя по клавишам современного рояля, играют, собственно говоря, на логарифмах. Lg N pm =m+p/12 N pm номер клавиши m номер октавы P номер звука в октаве, Делённый на 12 Сходным образом оценивается и громкость шума, единицами измерения которого являются белы и децибелы. Оказывается, что громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы. Для сравнения: Тихий шелест листьев 1 бел Громкая разговорная речь 6,5 бел Рычание льва 8,7 бел Музыка рок ансамбля бел Шум, громкость которого больше 8 бел, признается вредным для организма. Это согласуется с законом Фехнера: Величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Т

41 Яркость звёзд и громкость шума оцениваются одинаковым образом: по логарифмической шкале. Величина звезды - логарифм её физической яркости. Оценивая видимую яркость звёзд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, где а =2,5 Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь П.С.Лаплас Т

42 Литература 1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: Наука, Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Д.: ВАЛ, Н.В.Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» - М.:Дрофа, 2005 г. 4. Н.В.Богомолов «Практические занятия по математике» - М.: Высшая школа, Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., Т