Интерактивный тест-тренажер для подготовки к ЕГЭ по математике Алтунина Нина Сергеевна учитель математики МБОУ «СОШ 14» г.Череповец, Вологодская область Областной конкурс «Информационно-коммуникационные технологии в профессиональном творчестве педагогов» Номинация: «Применение современных информационных технологий при подготовке учащихся к ГИА и ЕГЭ» Учебный мультимедиа-продукт:

Инструкция по выполнению работы Данный тест-тренажер является интерактивным, т.е. вы можете проверить себя сразу после выполнения задания. Порядок проверки: если к заданию приводятся варианты ответов (четыре ответа, из них верный только один), то надо нажать номер выбранного ответа; при правильном ответе появится, при неправильном - (можно попробовать исправить ошибку); если к заданию не приводятся варианты ответов, то после выполнения задания для проверки правильности его выполнения нажмите. Для перехода к следующему заданию нажмите. Данный тест не ставит целью оценить ваши знания, постарайтесь быть честными, не открывайте ответы раньше, чем будет выполнено задание! Проверьте свои силы! Желаю успеха! Проверка Подумай Верно

1. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%? Верно Подумай

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия Подумай Верно

3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины Верно Подумай

4. Для остекления музейных витрин требуется заказать 20 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла 0,25 м 2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей будет стоить самый дешевый заказ? Ответ: ___________ Проверка Ответ:1660 Фирма Цена стекла за 1 м 2 Резка стекла (руб. за одно стекло) Дополнительн ые условия А30017 Б32013 В3408При заказе на сумму больше 2500 руб. резка бесплатно

5. Найдите корень уравнения: log 2 (15 + x) = log 2 3 Верно Подумай

6. В треугольнике ABC угол C равен 90º, sinА = Найти sinB. Верно Подумай

7. Найдите значение выражения: Верно Подумай

8. Прямая у= 7 х - 5 параллельна касательной к графику функции у = х х - 8. Найдите абсциссу точки касания. а) б) в) г) Верно Подумай а б в г

9. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: ______ Проверка Ответ: 6

10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: ______ Проверка Ответ: 0,14

11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Верно Подумай

12. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t – 5t 2, где h высота в метрах, t время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров? Ответ: ______ Проверка Ответ: 1,2

13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. Ответ: _____ Скорость (км/ч)Время (ч)Расстояние (км) велосипедистх 75/х 75 автомобилистх+4075/(х+40)75 Проверка Получаем уравнение 75/х - 0,75/(х+40)= 6; х х -500 =0 Ответ: 10

14. Найти наименьшее значения функции ƒ(x)=2x³6x²+1 на отрезке [-1; 1]. Ответ: _____ Проверка Найдите производную функции: ƒ'(x)=(2x³6x²+1)=(2x³)(6x²)=6x²12x=6x(x2). Производная ƒ'(x) определена на всей числовой прямой. Решим уравнение ƒ'(x)=0. В этом случае такое уравнение равносильно системе уравнений 6x=0 и x2=0. Решениями будут две точки x=0 и x=2. Однако x=2 (-1; 1), поэтому критическая точка в этом промежутке одна: x=0. Найдите значение функции ƒ(x) в критической точке и на концах отрезка. ƒ(0)=2×0³6×0²+1=1, ƒ(-1)=2×(-1)³6×(-1)²+1=-7, ƒ(1)=2×1³6×1²+1=-3. Так как -7

С1 Решите уравнение (4sin 2 (x)-3)/(2cos(x)+1)=0 Ответ: _____ Проверка Знаменатель не должен обращаться в ноль: 2cos(x)+1 0 cos(x) -1/2 (1) x ±2π/3 + 2πn, n Z Числитель должен обращаться в ноль: 4sin2(x)-3 = 0 sin2(x) = 3/4 sin(x) = ± 3/2 отсюда x = ±π/3 + πn, n Z или, что то же самое, {x = ±2π/3 + 2πn; x = ±π/3 + 2πn}, n Z. Принимая во внимание (1), получаем ответ: x = ±π/3 + 2πn, n Z Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n Z

С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB=3, боковое ребро SA = 7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS. Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS. Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS. Пусть SH высота треугольника BCS, SO перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH. 1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = 3/2 2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = 5/2 3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = = 2 4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами: S = SO*OH/2 = SH*OM/2, откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5 Ответ: 6/5.Ответ: ______ Проверка

С3. Решить неравенство: log 2 (3·2 (x-1) - 1) / x 1 Ответ: ______ Проверка ОДЗ. 1. x ·2 (x-1) -1 > 0; 2 (x-1) > 1/3; x > log 2 (1/3)+1 = log 2 (2/3) Примерно вычисляем, что log 2 (2/3) - это где-то между -1 и 0. Решаем неравенство: (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) /x 0; (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) = х, (log 2 (3 ·2 (x-1) -1) = log 2 (2 х ); 3 ·2 (x-1) -1= 2 х (3 ·2 (x-1) -1)/ 2 х = 1 3 · / 2 х = 1 3 / х = 1 Получаем: 2 -х = 1/2 Итак: x = 1 В двух точках выражение меняет знак: 0 и 1 Прикидываем, какой у него знак будет, например, при x=2: (log 2 (5)-2)/2 - это больше нуля. Значит, при x>1 - "+« при 0

С4. Прямоугольный треугольник ABC имеет периметр 54. Окружность радиуса 6, центр которой лежит на катете ВС, касается прямых АВ и АС. Найти площадь треугольника АВС. Ответ: ______ Проверка Пусть AC = AH = x, BH = y, BO = z. Тогда периметр треугольника равен 2x+y+z+6 = 54. Выразим x, y и z через угол альфа (а): Из прямоугольного треугольника AHO: x = 6/tg(a/2). Из прямоугольного треугольника BHO: y = 6·tg(a), z = 6/cos(a) Выражение для периметра становится таким: 12/tg(a/2)+6*tg(a)+6/cos(a)+6 = 54; 1/cos(a) + 2/tg(a/2) + tg(a) = 8. Тут удобно всё выразить через тангенс половинного угла: (1+(tg(a/2)) 2 )/(1-(tg(a/2)) 2 ) + 2/tg(a/2) + 2·tg(a/2)/(1-(tg(a/2)) 2 ) = 8. Обозначим t = tg(a/2), получим: (1+t 2 )/(1-t 2 )+2/t+2t/(1-t 2 ) = 8 Путём несложных преобразований приводим это к виду 9t 2 - 9t + 2 = 0 Получаем: (1) t 1 = 1/3 и (2) t 2 = 2/3 Выражаем обратно x и z. Итак, для случая (1) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-1/9)/(1+1/9)) = 7.5; x = 6/tg(a/2) = 6/(1/3) = 18. S = x*(z+6)/2 = Для случая (2) имеем: z = 6/cos(a) = 6/((1-4/9)/(1+4/9)) = 15.6 x = 6/tg(a/2) = 6/(2/3) = 9. S = x*(z+6)/2 = 97.2 Ответ: 121.5, 97.2 Ответ: 121,5 и 97,2

С5. Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x 2 - |x-a 2 | - 9x имеет хотя бы одну точку максимума. Раскроем модуль: При x a 2 : f(x) = x 2 - 8x - a 2, при x > a 2 : f(x) = x x + a 2. Производная левой части: f'(x) = 2x - 8 Производная правой части: f'(x) = 2x - 10 И левая, и правая части могут иметь только минимум. Значит, единственный максимум у функции f(x) может быть в том и только в том случае, если в точке x=a 2 левая часть возрастает (то есть 2x-8 > 0), а правая убывает (то есть 2x-10 < 0). То есть, получаем систему: 2x-8 > 0 2x-10 < 0 x = a 2 откуда 4 < a 2 < 5; a (- ; -2) (2; ) Ответ:(- ; -2) и(2; ) Проверка Ответ: ______

С6. Найдите все натуральные числа, последняя десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных натуральных делителей (включая единицу и само число). Любое натуральное число n представимо в виде n = p 1 k1 ·p 2 k2 ·... и т.д., где p 1, p 2 и т. д. простые числа, а k 1, k 2 и т.д. целые неотрицательные числа. Причём общее количество натуральных делителей числа n равно (k 1 +1)·(k 2 +1)· и т.д. Раз по условию задачи число n заканчивается на 0, то оно делится как минимум на два простых числа 5 и 2, то есть представимо в виде n = 2 k1 ·5 k2 ·... и т.д., где k 1 > 0 и k 2 > 0, то есть число натуральных делителей числа n должно раскладываться как минимум на два натуральных сомножителя, отличных от единицы. Число 15 при таком условии раскладывается на множители всего двумя способами: 3·5 либо 5·3 Отсюда: 1) n = 2 (3-1) ·5 (5-1) = ) n = 2 (5-1) ·5 (3-1) = 400 Ответ: 400 и 2500 Проверка Ответ: ______

Источники основного содержания Завершить работу Открытый банк заданий по математике: