ДВИЖЕНИЕ в пространстве Выполнили ученицы 11 «В» класса Мезяева Юлия Вдовенкова Мария

Движением называется преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками, т. е., если точки A и B переходят соответственно в точки A и B, то AB = AB.

Центральная симметрия О такое преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно точки О. Z Z1 P P1

Теорема 1. Центральная симметрия является движением. Доказательство. Пусть точки A', B' получены центральной симметрией относительно точки О точек А, В. Тогда треугольники ОАВ и ОА'B' равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и, значит, АВ = A'B'. Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояния и, следовательно, является движением.

Центральная симметрия вокруг нас

Зеркальная симметрия Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно этой плоскости точку М 1. М М1М1 О М К К ОМ=ОМ 1 ; ММ 1 МК=М 1 К 1 М1М1 К1К1

Теорема 2. Зеркальная симметрия является движением. Доказательство. Пусть точки A, B получены симметрией относительно плоскости точек A, B, A, B – ортогональные проекции точек A, B на плоскость. Тогда точки A, B, A, B принадлежат одной плоскости и точки A, B симметричны в этой плоскости точкам A, B относительно прямой AB. Из свойств симметрии на плоскости следует, что AB = AB. Таким образом, зеркальная симметрия сохраняет расстояния и, следовательно, является движением.

Зеркальная симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга Александринский театр Исаакиевский собор

Осевая симметрия называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в симметричную ей относительно прямой d

AA1A1 B B1B1 z x y o Теорема 3. Осевая симметрия является движением. Решение: Если М не принадлежит OZ,то ось OZ: 1)проходит через середину отрезка ММ 1. 2)перпендикулярна к нему. Из 1 усл.по формулам получаем (x+x 1 )/2 и (y+y 1 )/2, откуда x 1 =-x и y 1 =-y. Из усл. 2 :z 1 =z. Полученные формулы равны если т-а М лежит на оси Oz. A(x 2 ;y 2 ;z 2 ); A1(-x 2 ;–y 2 ;z 2) A>A1 B(x 3 ;y 3 ; z 3 ); B1(–x 3 ;–y 3 ; z 3 ) B>B1 По формулам м/у двумя точками получаем: AB= (x 3 -x 2 ) 2 +(y 3 -y 2 ) 2 +(z 3 -z 2 ) 2, A1B1= (-x 3 +x 2 ) 2 +(-y 3 +y 2 ) 2 +(z 3 -z 2 ) 2 => AB=A 1 B 1

Осевая симметрия вокруг нас

Параллельный перенос Преобразование пространства, при котором точки А переходят в точки А' так, что векторы равны заданному вектору, называется параллельным переносом на вектор. Говорят, что фигура F' получается параллельным переносом фигуры F на вектор, если все точки фигуры F' получаются всевозможными параллельными переносами точек фигуры F на вектор.

Доказательство. Пусть параллельный перенос на вектор переводит точки A и B соответственно в точки A и B. Тогда в четырехугольнике AABB стороны AA и BB равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник – параллелограмм и, значит, отрезки AB и AB равны. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, т.е. является движением. Теорема 4. Параллельный перенос является движением.

Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. А 1В1=kАВ С1Д1=kСД k-КОЭФФИЦИЕНТ ПОДОБИЯ А1А1А1А1 А В1В1В1В1 В С1С1С1С1 С Д1Д1Д1Д1 Д Преобразование подобия