Цель: Знакомство и классификация заданий уровня С

1. Решите уравнение

Решающий приём – замена неизвестной величины по формуле : Тогда уравнение существенно упроститься:

Практическое исполнение алгоритма может быть следующим. Критические точки 1 и 2 разбивают числовую ось на три интервала.

В зависимости от знака раскрываются модульные скобки в соответствии с определением модуля. Возвращаясь к старой переменной, получим: Ответ: [5;8].

Графический интерактивный вариант решения уравнения с переменной под знаком модуля.

Построив, с использованием этой модели, график уравнения. получим, что y = 1 при

А ещё, решение данного уравнения - эллипс – множество точек плоскости, у которых сумма расстояний от каждой точки, до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. С точки зрения геометрического смысла модуля уравнение интерпретируется так: сумма расстояний от точек А(1) и В(2) до точки М(х) есть величина постоянная равная 1. То есть отрезок [1;2] это вырожденный эллипс.

Никогда не следует бояться украсить свой ответ яркими подробностями. Найдутся люди, которые это оценят. Одним из способов решения уравнений является нахождение корней подбором с последующим доказательством того, что других корней нет. Это может сработать, когда левая часть уравнения – возрастающая, а правая – убывающая или постоянная функция. Но могут возникать ошибки, избежать которые помогают графические представления.

2. Решите уравнение Один из корней угадывается не сложным подбором х = 2. Левая часть – возрастает с ростом аргумента, а правая – постоянная функция.

Левая часть возрастает на двух интервалах непрерывности и график соответствующей функции имеет следующий вид: График левой части уравнения 2.

Каждая из ветвей графика пересекает прямую у = 100. Следовательно, уравнение имеет два корня. Приведём одно из возможных решений

Преобразуем обе части данного неравенства, выделяя полный квадрат из квадратного трёхчлена. Дело в том, что теперь выясняется, что наименьшее значение левой части неравенства равно 2 и достигается при х = 2, как и наибольшее значение правой части. При любых других значениях неизвестного левая часть больше правой. Ответ: 2. 3 Решите неравенство

4. Решите уравнение Рассмотрим два числа: Легко проверить, используя теорему Виета, что эти числа – корни квадратного уравнения

Тогда: Для решения определённых классов уравнений и систем полезно знать упрощающие подстановки. Рассмотрим, к примеру, так называемое возвратное уравнение четвёртой степени:

Смысл названия в повторении (возвращении) коэффициентов при степенях, расположенных симметрично, относительно середины левой части уравнения. Разумно предположить, что, а 0, иначе это не уравнение четвёртой степени. Тогда x = 0 – не является корнем уравнения, следовательно обе части можно разделить на х 2. После не сложных преобразований, получим: И вот теперь, с помощью замены неизвестной по формуле: получаем квадратное уравнение

5. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если их сумма равна 35, а сумма их квадратов 525. Пусть второе число равно b, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда, по условию задачи можно составить следующую систему уравнений:

Выполним замену неизвестного: Тогда система преобразуется следующим образом: При любом из полученных значений знаменателя получается тройка чисел: 5; 10; 20.

6. Исследуйте функцию и постройте её график Задача предельно проста по формулировке, но содержит богатый развивающий исследовательский потенциал. Главное сразу понять, что параметр a может принимать любые значения. И не факт, что в каждом случае график функции имеет один и тот же вид. От значения параметра зависит область определения функции, наличие или отсутствие асимптот, точек перегиба и т. д.. Для наглядного представления о возможном поведении функции при различных значениях параметра, можно предложить ознакомиться с её компьютерной интерактивной моделью.

Интерактивная модель задания 6 Но до конца эффективно и полезно разобраться в этой модели может помочь лишь терпеливое изучение всех этапов решения. Начнём с первого случая, когда a = 0. Имеем постоянную на множестве всех действительных чисел функцию y = ln3. Её график – прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;ln3). Никаких более или менее интересных особенностей этот график, естественно не имеет, но задание требует его изображения

График функции задания 6 при a = 0. При a > 0 областью определения является вся числовая ось, так как, в этом случае при любом значении аргумента выражение под знаком логарифма строго больше нуля: ax > 0. Функция является чётной: y(-x) = y(x), то есть её график симметричен относительно оси ординат. Исследуем на монотонность и экстремумы. Рассмотр им более интересные случаи

Таким образом, данная функция возрастает на интервале (-;0], убывает на интервале [0;), точка х = 0 – точка минимума. Более детальные сведения о характере возрастания и убывания можно узнать, исследуя функцию на выпуклость и точки перегиба. Для этого требуется вычислить вторую производную и выяснить, в каких точках она равна нулю, в каких является отрицательной, а в каких – положительной. Один из аналитических вариантов оформления такого исследования может вполне быть следующим

. Исследование на выпуклость и точки перегиба

График имеет выпуклость вверх (или просто выпуклость) на интервалах (-;- 3/a ] и [ 3/a ; ). На интервале [ - 3/a ; 3/a ] функция выпукла вниз (или вогнута). Точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. График функции, для данного пункта исследования, имеет следующий вид. График исследуемой функции при a > 0.

Остаётся исследовать функцию при a < 0. Найдём область определения Далее просто необходимо рассмотреть предельные переходы, чтобы понять поведение функции вблизи границ интервала.

Студенты первого курса, любого вуза, записывают этот факт одной формулой: Прямые называют вертикальными асимптотами. При приближении аргумента к границам интервала значение функции резко уходит в минус бесконечность. Интерактивная интерпретация этой ситуации выглядит следующим образом.

График функции при a < 0

Для качественного графика нужно границы изменения аргумента проставлять в соответствии с уравнениями вертикальных асимптот, вычисляемых автоматически. Данная в условии функция исследована полностью. Но интересующиеся читатели могут самостоятельно исследовать ситуацию, когда a > 0, b < 0. Для этого уравнение или неравенство разбивается на две части. Первая – которая не зависит от изменения параметра. График этой части является статичным и, естественно, не меняется при изменении параметра. Вторая часть – динамичная, меняет форму и расположение в зависимости от изменения параметра. Параметры как бы вносят в график движение, которое достаточно наглядно представить с помощью интерактивных моделей.

Литература ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ. Решение задач. И. Ф. Шарыгин. Москва «Просвещение» ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ. Решение задач. И. Ф. Шарыгин. В. И. Голубев. Москва «Просвещение» 1991