В годах Кантор опубликовал труд, в котором дал основы созданной им теории множеств. Эта отрасль математики рассматривает свойства множеств в отрыве от признаков элементов, из которых они состоят. Он доказал существование неэквивалентных ( т. е. отличающихся разной мощностью ) бесконечных множеств, дал точное понятие мощности множества и доказал, что множество действительных чисел многочисленнее " ( отличается большей мощностью ), чем множество рациональных чисел. Кантор дал также основы теории точечных множеств касающейся множеств лежащих в обыкновенном или в абстрактном пространстве. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне - упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел « больше », чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование « бесконечности ». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику.

В своей научной деятельности Вейерштрасс, в частности, занимался теорией аналитических функций, в основу которой положены степенные ряды, линейной алгеброй. Вейерштрасс до такой степени разработал теорию функций комплексного переменного, что дал, собственно, совершенно новые основы этой области. Известна его теорема о сходимости рядов. Он был сторонником так называемой арифметизации алгебры, то есть исключения геометрии из всех доказательств по алгебре.

Некоторое понятие о том, как много сделал Риман для развития математики, может дать перечень методов, теорем и проблем, носящих его имя : теорема Римана - Роха об алгебраических функциях, пространства Римана, интеграл Римана, лемма Римана - Лебега о тригонометрических интегралах, геометрия Римана, гипотеза Римана, Рима - новы матрицы в теории Абелевых функций, дзета – функция Римана, метод Римана решения частных дифференциальных уравнений гиперболического типа и много, много других. Предложенные Риманом идеи и методы раскрыли новые пути в развитии математики и нашли применение в механике и физике. Ученик Гаусса

Дирихле рассмотрел случай так называемой великой теоремы Ферма для п = 5 ( Эйлер и Лагранж рассматривали случай п = 3 и п = 4). После этого Дирихле дал доказательство теоремы Гаусса для двух квадратичных остатков. Дирихле показал большую роль анализа и теории аналитических функций для решения проблем теории чисел. Известна доказанная им теорема о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой бесконечной арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой числа взаимно простые. До Дирихле эта проблема представляла для математиков непреодолимые трудности. Дирихле первый дал точное доказательство сходимости рядов Фурье, известное повсеместно как признак Дирихле, а в вариационном исчислении привел так называемый принцип Дирихле. Эти работы дали повод другим математикам, например, Ри - ману и Кантору, углубить исследования, что привело их к новым открытиям

Построенная Давидом Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов. Знаменитый немецкий математик Давид Гильберт (нем. David Hilbert) занимает особое место в истории науки. Он был ученым универсального склада мышления и на целое столетие определил задачи, стоящие перед математикой Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе.

Заслуги Штейнера в геометрии огромны. Ему удалось обогатить ее многими важными и часто весьма трудными теоремами. Однако он часто не приводил доказательств, поэтому его математические труды стали сокровищницей идей, требующих доказательств, чем с удовольствием пользуются многие математики. При помощи одного из своих методов, так называемого четырех - шарнирного метода, Штейнер весьма остроумно доказал, что круг является геометрической фигурой с наибольшей площадью из всех фигур на плоскости, ограниченных замкнутыми кривыми одинакового периметра. Штейнер занимался и элементарной геометрией, причем доказал, что все фигуры геометрии Евклида можно начертить с помощью линейки, если только в той же плоскости дана окружность и ее центр.

Основной проблемой, которой занимался Дедекинд, была теория чисел. Результаты, полученные им в этой области, он собрал в специальный Одиннадцатый" том дополнений к трудам Дирихле. Он первый точно и по-современному разработал теорию действительных чисел. Ему принадлежит ряд идей в теории чисел, в которую он ввел много совершенно новых понятий, таких, например, как кольцо, группа и структура, что создало основы современной алгебры (в частности, Дедекинд обосновал алгебраическую теорию чисел). Понятия, введенные Дедекиндом в современную алгебру, создали прочные основы для исследований во многих отраслях математики. Кроме теории чисел, Дедекинд занимался арифметикой и теорией множеств. Дедекинд был одним из первых математиков, давшим теории множеств логические основы и превратившим ее в дедуктивную. Ученик Гаусса