Фракталы и дробные размерности Сергей Постников SETI

Содержание Простые примеры. Дробная размерность. Фрактал. Фракталы в природе и науке. Применение. Заключение.

«Дракон» Хартера-Хейтуэя Похож на стиль китайских драконов.

Кривая и «снежинка» Коха. (шведский математик в 1904 г.) Несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины (4/3) n, не имеющая касательной ни в одной точке. Периметр и площадь «снежинки»?

Дробная размерность. Размерность Хаусдорфа «С более общей математической точки зрения можно определить размерность таким образом: увеличение линейных размеров, скажем, в два раза для одномерных объектов (отрезок) приводит к увеличению размера (длины) в два раза, для двухмерных (квадрат) такое же увеличение линейных размеров приводит к увеличению размера (площади) в четыре раза, для трехмерных (куб) – в восемь раз (объема). Хаусдорфову размерность можно подсчитать в виде отношения логарифма увеличения «размера» объекта к логарифму увеличения его линейного размера. То есть для отрезка D=log(2)/log(2)=1, для плоскости D=log(4)/log(2)=2, для объема D=log(8)/log(2)=3. Подсчитаем теперь размерность кривой Коха. При увеличении линейных размеров минимального отрезка в три раза длина кривой Коха возрастает в четыре ((1/3)x4)x3 log(4)/log(3) ~ 1,26. Или еще можно сказать получаются 4 части и коэффициент подобия 3 То есть размерность кривой Коха – дробная!» ( ) 1/3

Треугольник Серпинского Какова его Хаусдорфова размерность?

Фрактал ( от латинского fractus – изломанный) обладает сложной структурой при любом увеличении; является (приближенно) самоподобной; обладает дробной хаусдорфовой размерностью; может быть построен рекурсивными процедурами. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так:«Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Фракталы в природе и науке Деревья и листья Молния Береговая линия Сеть кровеносных сосудов Бронхиальное дерево Турбулентность Пламя Облака Пористые материалы в нефтехимии Популяции в биологии и хаотические процессы Фрактальная космология

Применение Фрактальные антенны в радиотехнике Алгоритм фрактального сжатия изображений Генерация «природных» объектов в компьютерной графике. Деревья, кусты, ландшафты, поверхности морей и т.д. Децентрализированные компьютерные сети Экономика и финансы: кривые колебания курсов валют Медицина: биение сердца и биосенсорные взаимодействия

Заключение Фракталы это интересные и полезные объекты встречающиеся в природе и обладающие дробной размерностью. Они изучаются целым разделом математики. Наиболее распространенное их применение в компьютерной графике.