Математика Учитель математики МОУ «Гимназия 10» города Ржева Тверской области Колчина Светлана Васильевна

Н. Е. Жуковский В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Наше время называют эпохой математизации знаний. Математические методы исследования находят всё более широкое применение во множестве областей знаний и практической деятельности. Овладение любой современной профессией требует знаний по математике. Задачи с параметрами являются прообразами тех научно – исследовательских заданий, которыми предстоит заниматься школьникам в будущем на разных этапах профессиональной подготовки. Теоретическое изучение и математическое моделирование процессов в различных областях человеческой деятельности часто приводит к сложным задачам, в которых «много» различных неизвестных, которые по существу и представляют собой параметры. При решении задач с параметрами приходится все время производить различные по степени сложности последовательные рассуждения, составлять для себя логическую схему решаемой задачи. Поэтому такие задачи - незаменимое средство для тренировки логического мышления, их решение позволяет намного лучше понять обычные, без параметров, задачи.

Средний процент решений, оцененных максимальным числом баллов, - 1,3%. Положительный результат ( не менее одного балла за решение) – 6,2%. Наибольшие проблемы: не понимание логики задачи и анализ условия, неумение искать ключевые факты и делать необходимые обоснования, строить графики, использовать геометрические интерпретации.

познакомить учащихся с примерной тематикой и уровнем сложности заданий с параметром, включенных в содержание ЕГЭ; изучить различные методы их решения.

При использовании монотонности функций различают случаи, когда функции, стоящие в обеих частях уравнения (неравенства), имеют одинаковую монотонность или разную монотонность. монотонность функции на множестве R Если функция f (t) строго монотонна на R, то уравнение f (h(x)) = f (g(x)) равносильно уравнению h(x) = g(x). Если функция f (t) строго возрастает на R, то неравенство f (h(x)) > f (g(x)) равносильно неравенству h(x) > g(x). Если функция f (t) строго убывает на R, то неравенство f (h(x)) > f (g(x)) равносильно неравенству h(x) < g(x). Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Если при некотором преобразовании переменных уравнение не меняет своего вида («переходит в само в себя»), то мы говорим, что это уравнение симметрично относительно данного преобразования. Не решая уравнение и исходя лишь из соображений симметрии, мы можем заранее предвидеть некоторые свойства его решений. Есть два основных диагностических признака, появление которых в задаче, наводит на мысль применить данный метод: 1)в условии говорится о единственности решения; 2)в уравнении или системе уравнений видна четность или нечетность функции, симметричность неизвестных и т. д.

Если при некотором преобразовании переменных уравнение не меняет своего вида («переходит в само в себя»), то мы говорим, что это уравнение симметрично относительно данного преобразования.

Заметим, что. Пусть, а.

Тогда, а. Подставим в исходное уравнение:. Найдем. Заметим, что при всех значениях переменной. Найдем. Заметим, что при всех значениях переменной.

В нашем случае,.,.. Если функция f (t) строго монотонна на R, то уравнение f (h(x)) = f (g(x)) равносильно уравнению h(x) = g(x).

При уравнение будет иметь больше одного корня. Ответ: при.

Математика Преобразования графиков функций

x y 0 Y = f(x) Y = f(x – a), a < 0 Y = f(x – a), a > 0

х у 0 Y = f(x) Y = f(x) + b, b > 0 Y = f(x) + b, b < 0

y x0 y x0

а Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Преобразуем и вынесем a за скобки: Разобьем уравнение на систему:

Преобразуем первое уравнение системы Заметим, что y должен быть неотрицательным. Возведем данное уравнение во вторую степень.,,,.

Уравнение задает окружность радиусом 2 с центром имеющим координаты (-1;0). Уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку с координатами (4;2). Построим графики.

M (4;2), A (-1;2), B (-3;0), C (1;0). Для A:. Откуда. Получаем, что. Для B:. Откуда. Получаем, что. Для С:. Откуда. Получаем, что.

При прямая и полуокружность не будут иметь общих точек. При прямая и полуокружность будут иметь одну общую точку. При прямая и полуокружность будут иметь две общие точки. При прямая и полуокружность будут иметь одну общую точку. При прямая и полуокружность не будут иметь общих точек.

Таким образом, нам подходите. Ответ:

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.

Начнём со второго уравнения.,, Заметим, что это уравнение задает окружность с центром, имеющим координаты (0;3), и радиусом a.

Вернемся к первому уравнению системы. Раскроем модуль. При

Таким образом, первое уравнение разбивается на два. При Второе уравнение принимает вид Построим графики.

,,.,.,, или.

3 4

При окружность и ромб будут иметь четыре общие точки. При или окружность и ромб будут иметь четыре общие точки. При окружность и ромб будут иметь четыре общие точки.

Ответ:

Данная разработка поможет: расширить и систематизировать знания учащихся старших классов по теории функций; познакомить их с основными методами решения задач с параметром; научить применять эти знания на практике на примерах заданий С 5, предложенных для подготовке к ЕГЭ 2014 года; повысить графическую культуру обучающихся.

Литература А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев Уравнения и неравенства с параметрами. И. В. Яковлев Задачник С 5 Интернет ресурсы ege-po-matematike/ ege-po-matematike/ reshat-zadachi-s-parametrom/