Работу выполнил: Чернецкий Глеб Руководитель работы: Редько Н.Н.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ: Введение История возникновения процента Опытно-экспериментальная работа Задача на расчет сложного процента Одна из видов записей для вычисления процентов - схема Решение одной олимпиадной задачи на проценты Заключение Список литературы

«Рационально мыслить и рационально считать – таков девиз при решении задач»

Цели и задачи: Цель данной работы - показать широту применения такого простого и известного учащимся математического аппарата, как процентные вычисления.

Цели и задачи: Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи: - проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»; - познакомится с формулой сложных процентов; - научиться применять полученные знания на примерах с практическим содержанием; - провести социологическое исследование среди учащихся 7,10,11 классов нашей школы на умение решать задачи на процентные вычисления; - провести цикл лекций для учащихся по ознакомлению с данной работой.

История возникновения процента. Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны индийцам ещё в Vв. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. «Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584 г. Он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д. Символ появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: с t о. В 1685 г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо с t о было набрано. После этого знак получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

Опытно-экспериментальная работа. В результате анализа методической литературы мы пришли к выводу, что одной из наиболее сложной задач в основной или старшей школе является переход от «простых» процентов к самым простым «сложным» процентам. Наверное, это связано с тем, что теме «Проценты» уделяется мало времени на уроках математики. Эта тема изучается в V-VI классах, после чего к ней редко возвращаются, что показывают статистические данные по обработке линии учебников VII-IX классов.

Учебник алгебры Кол-во задач на проценты (под ред.Теляковского С.А.) Кол-во задач на проценты (под ред. Мордковича А.Г.) 7 класса класса 38 9 класса 412

Тестирование в 1994 г. Третьего международного изучения естественно-математической подготовки учащихся (TIMSS, ). Учащимся одиннадцатых классов общеобразовательного направления были предложены три задачи на проценты: Стоимость компьютера 1250 долларов. Какова будет его стоимость после снижения цен на 20%? Булочка стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит булочка? Скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды?

Был сделан следующий вывод: только незначительная часть учащихся может без специального обучения совершить переход от «простых» процентов к самым простым «сложным» процентам.

Цели эксперимента: выяснить сохранность у учащихся программного материала, связанного с темой «Проценты»; выявить математические знания и умения решать задачи на проценты.

я.

Результаты эксперимента 1994 г. и 2012 г

Ошибки допущенные учащимися: в задаче 2 – если увеличить х на 10%, а затем полученное число уменьшить на 10%, получится: 0,9 х, а у учащихся: х; в задаче 3 – ошибка в том, что учащиеся складывают скорость и время.

Виды задач на проценты: Нахождение процентов от данного числа. Нахождение числа по процентам. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Алгоритмы решений основных типов задач: -Чтобы найти а от числа b, надо b умножить на 0,01 а: х = b 0,01 а. -Если а числа х равно b, то -Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%:

Задача на расчет сложного процента: Цена 51, 2 рубля за капиллярную ручку трижды увеличивали на одно и то же число процентов, а затем трижды уменьшали на то же самое число процентов. В результате получилась цена ручки 21,6 рубля. На сколько процентов увеличили, а затем уменьшили цену капиллярной ручки? Это задача на расчет сложного процента. Расчет сложных процентов производится по формуле: или где а – начальное значение некоторой величины; К- значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины; n – количество изменений начальной величины; р – процент изменения.

Знак «плюс» применяется в задачах при подсчете увеличения цены товара, а знак «минус» применяется при подсчете снижения цены. Действительно, если изменение числа на р% заменить умножением на нужное число, то, увеличив число а на р%, получим То есть чтобы увеличить число на р%, достаточно умножить его на, и чтобы число уменьшить на р%, достаточно умножить его на

Решение: Вернемся к задаче : из условия задачи имеем или р=50 Ответ: цена капиллярной ручки увеличивалась и уменьшалась на 50%.

Рассмотрим решение задач из эксперимента, применяя формулу сложного процента: Булочка стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит булочка? (задача 2). Решение: Так как повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9, то есть 1,10,9=0,99; 1000,99=99 (руб.). или 100(1+0,1) (1-0,1)=100(1-0,01)=1000,99=99 (руб.). Ответ: 99 рублей стоит булочка.

Рассмотрим решение задач из эксперимента, применяя формулу сложного процента: В скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость 10 м/с. Какова будет его скорость через три секунды? (задача 3) Решение: (м/с) Ответ: через три секунды скорость будет 13,31 м/с.

Задача из ЕГЭ (часть В) Цену на автомобиль «Волга» снизили сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить рублей. Какова была первоначальная цена автомобиля? Решение: Пусть х рублей будет первоначальная стоимость автомобиля. х(1-0,2) (1-0,15)= х 0,80,85= х 0,68= х= :0,68 х= Ответ: рублей первоначальная стоимость автомобиля.

Одна из видов записей для вычисления процентов - схема. I. Если первоначальная цена некоторого товара составляла S о денежных единиц, то после ее повышения на р% она составит S о + S о р 0,01 = S о (1 + р 0,01) (ден. ед.). Аналогично, если первоначальная цена S о понизилась на р%, то она составит S о (1 - р 0,01) (ден. ед.). Легко понять и запомнить эти формулы, если представить их в виде наглядных схем. Так, на рис. 1 повышение цены изображается стрелкой, идущей от S о вверх, а понижение стрелкой, направленной вниз от S о. S о (1 + р 0,01) S о S о (1 – р 0,01)

II. В результате повышения первоначальной цены S о на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна S о (1 + p 0,01)(1 - q 0,01) (ден. ед.). Аналогично, если первоначальная цена S о сначала понизилась на p%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна S о (1 - p 0,01)(1 + q 0,01) (ден. ед.).

Изображают такую схему в виде S о (1 + p 0,01) р% q% S о (1 + p 0,01)(1 - q 0,01) S о S о (1 - p 0,01)(1 + q 0,01) р% S о (1 - p 0,01) q%

Задачи, рекомендуемые для решения Задача 1: До снижения цен книга в киоске «Репетитор» стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%. Решение: Пользуясь схемами, получаем: 120·(1-0,1)(1- 0,05) = 1200,90,95= 1080,95=102,6 (рубля) – цена книги после двух последовательных снижений. Ответ: 102,6 рубля.

Задачи, рекомендуемые для решения Задача 2: После снижения цен в магазине «Юнона» на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен? Решение: Воспользуемся схемами, получаем, что S о (1-300,01)=2100 S о 0,7=2100; S о = (рублей) – стоил свитер до снижения цен. Ответ: 3000 рублей.

Задачи, рекомендуемые для решения Неизменный интерес вызывает следующая задача. Задача 3: Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов? Решение: Пусть исходная цена S о, а окончательную обозначим за S, причем сначала составляют схему преобразований исходной цены S о и только потом переходят к вычислениям.

S о S о (150,01)(1+50,0) 5% S о (1-50,01) То есть: S= S о (1-50,01) (1+50,01) = S о (1-250,0001)= S о (1- 0,250,01) Полученная стандартная форма записи показывает, что первоначальная цена понизилась на 0,25%. Ответ: первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Получив ответ на вопрос задачи, можно рассмотреть и такой вариант, изменится ли результат, если в задаче цена сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Вывод такой, что результат изменения первоначальной цены не зависит от порядка произведенных преобразований и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%.

Решение одной олимпиадной задачи на проценты. Задача: М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобрел полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%? Решение: Пусть примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим через х, а стоимость кваса – через у. Составим уравнения: до повышения цен х+у=1, а после повышения 1,2(0,5 х+у)=1. Составим и решим систему уравнений: Решим второе уравнение 0,6(1-у)+1,2 у=1, получаем, что у=, а затем применяя схему

S о ( ,01)(1 +200,01) 20% S о ( ,01) 20% S о посчитаем 1,21,2 у=1,21,2 = 0,96 - стоимость кваса после двух повышений цен. Ответ: денежки хватит на квас.

Заключение В заключение хочется сказать, что умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Поэтому считаю, что моя работа найдет практическое применение на уроках алгебры, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием, так и поможет увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.

Результаты опроса: Вопрос ДаНет Не знаю Поучили ли вы новую информацию о решении задач на проценты 97%3%- Пригодится ли вам данная информация для подготовки в ЕГЭ 78%-22% Пригодится ли вам данная информация в повседневной жизни 50%10%40%

Список литературы: 1. Энциклопедия для детей.Т.11. Математика/ Главный ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. – М.: Вита- Пресс, А.В. Спивак Математический праздник. Ч.1 - М.: Бюро Квантум, 2000 (Приложение к журналу «Квант», 2/2000). 4. Захарова А.Е. Несколько задач «про цены ». //журнал «Математика в школе» Седова Е.А. Проценты в X классе общеобразовательного направления. // журнал «Математика в школе» Е.Т. Астахова и др. Арифметические задачи. Учебное пособие для проведения практикума по решению задач. – Красноярск: Изд-во КГПУ, Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов. – Ростов н/Д: изд-во «Феникс», 2004.

Спасибо за внимание