Стереометрия ТЕМА: 2.4 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. СЕЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕИППЕДА. АК ВГУЭС Преподаватель БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА

специальности: «Банковское дело» «Гостиничный сервис» «Сервис домашнего и коммунального хозяйства» «Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров»

Требования к знаниям, умениям и навыкам 3 В результате изучения лекции студент должен знать: * Определение параллелепипеда и его изображение. * Элементы параллелепипеда. Свойства элементов. * Виды сечений. * Формулы площадей боковой и полной поверхностей, объема параллелепипеда. В результате изучения лекции студент должен уметь: Изображать параллелепипед. Решать задачи на построение сечений параллелепипеда. Решать задачи на нахождение площадей и объемов параллелепипеда.

Содержание: 1. Определение параллелепипеда, его элементов.. 2 Свойства параллелепипеда. 3. Изображение параллелепипеда. 4. Сечения параллелепипеда. 5. Формулы площадей боковой и полной поверхностей, объема параллелепипеда.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕ Д Параллелепипед (от греч. παράλλος параллельный и греч. επιπεδον плоскость) призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них параллелограмм

Рассмотрим поверхность состоящую из двух равных параллелограммов АВСD и ABCD расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки AA,BB,CC,DD будут параллельны, а четырехугольники BBCC, CCDD, DDAA, AABB являются параллелограммами Данная поверхность называется ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ и обозначается : ABCDABCD DA C B C AD B

Типы параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину ширину высоту длина ш и р и н а в ы с о т а

Стороны граней (прямоугольников) называют ребрами прямоугольного параллелепипеда. Вершины прямоугольников называют вершинами прямоугольного параллелепипеда. C D P H Всего 12 ребер, по 4 равных (на чертеже отмечены одним цветом). A B KM

Стороны параллелограммов,из которых составлен параллелепипед -ребра параллелепипеда. Боковые рёбра АА ВBВB СCСC DD Ребра АВ,ВС,СD,АD и АВ,ВС, СД, АД A A D BC C B D

Основные элементы Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями. Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро смежными.

Прямой параллелепипед это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.

Наклонный параллелепипед это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Куб это прямоугольный параллелепипед с равными измерениями. Все шесть граней куба равные квадраты.

Свойства - Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. - Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Свойства параллелепипеда Свойства параллелепипеда Свойство 1 Противоположные грани параллелепипеда АВСD и АВСD ААDD и ВВСС ААВВ и DDСС параллельны и равны B C AD DA C B

Свойство 2 Диагонали параллелепипеда На рисунке изображены диагонали ВDВD АС ВDВD Пересекаются в одной точке (точка О) И делятся этой точкой пополам! B C AD D A C B 0

Свойства - Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений. - Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Секущей плоскостью параллелепипеда называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного параллелепипеда. L

Секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются данные отрезки, называется сечением параллелепипеда. L

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками.

A1A1 А В В1В1 С С1С1 D D1D1 Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M,A,D. М 1. AD 2. MD 3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A 1 B 1 C 1 ) 4. AE 5. AEMD – сечение. E

A1A1 А В В1В1 С С1С1 D D1D1 M N Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В 1, М, N O К Е P 1. MN 2. Продолжим MN,ВА 4. В 1 О 6. КМ 7. Продолжим MN и BD. 9. В 1 E 5. В 1 О А 1 А=К 8. MN BD=E 10. B 1 Е D 1 D=P, PN 3. MN BA=O

Вариант 1 Вариант 2 M N P M N P M N P M N P Задание 1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Решения задач из задания M N P M N P Вариант 1

M N P M N P Вариант 2

Задание 1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью BKL, где K – середина ребра AA1, а L – середина ребра СС1. Доказать, что построенное сечение – параллелограмм.

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 K L Решение. Соединяем точки B и L, K и B. Проводим KD1 // BL и LD1 // KB. Сечение KD1LB – параллелограмм. Доказательство следует из равенства треу-гольников: KA1D1 = BLC, AKB = D1C1L.

Задание 2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1. Доказать, что построенное сечение – равнобедренный треугольник, если основание параллелепипеда – ромб и углы ABB1 и CBB1 прямые.

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 E Решение. Соединяем точки B и D1. Проводим диаго-нали AC и BD. Прово- дим OE // BD1. Соединяем точки А и Е, Е и С. Получили сечение АЕС. ADE = DCE по двум равным катетам AD и DC. Следовательно, АЕС – равнобедренный. О

Задание 3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки В1 и D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение – трапеция.

A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 М N Решение. Соединяем точки B1 и D1. Отмечаем т. М – середину DC. Проводим MN // D1B1. Соединяем т. M и D1, N и B1. Получили сечение MD1B1N. Данный четырехугольник является трапецией потому, что MN // D1B1.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда-это сумма площадей его граней. c a b 7 Равные прямоугольники имеют равные площади, поэтому площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна Развертка прямоугольного параллелепипеда 2ab + 2ac+ 2bc c b c b с а a b b а

Основные формулы Прямой параллелепипед Площадь боковой поверхности Sб=Ро*h, где Ро периметр основания, h высота Площадь полной поверхности Sп=Sб+2Sо, где Sо площадь основания Объём V=Sо*h Прямоугольный параллелепипед Основная статья: Прямоугольный параллелепипед Площадь боковой поверхности Sб=2c(a+b), где a, b стороны основания, c боковое ребро прямоугольного параллелепипеда Площадь полной поверхности Sп=2(ab+bc+ac) Объём V=abc, где a, b, c измерения прямоугольного параллелепипеда. Куб Площадь боковой поверхности Sб=4a², где а ребро куба Площадь полной поверхности Sп=6a² Объём V=a³

Вопросы для самопроверки Что такое параллелепипед, его поверхность. Назвать основные элементы параллелепипеда. Назвать формулы площадей боковой и полной поверхностей, объем параллелепипеда. Где в жизни встречается параллелепипед?

. Какая плоскость называется секущей плоскостью параллелепипеда?. Что называется сечением параллелепипеда?. Каким образом строится сечение параллелепипеда?. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда? Задания для самопроверки

Используемая литература: 1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.: Просвещение, Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И. Ковалева – Волгоград: Учитель, Геометрия классы И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва: Мнемозина, 2003