Дополнительные главы математической физики-2 Устойчивость решений эволюционных уравнений Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

Устойчивость - введение Обыкновенное дифференциальное автономное уравнение 1-го порядка (с разделяющимися переменными) Точки покоя, фиксированные точки F(x) - вещественная функция: x F 0 Асимптотика при

Устойчивость. ОДУ 1-го порядка Линейный анализ устойчивости. Линеаризация Условие устойчивости ?

Автономная система двух ОДУ Точка покоя, фиксированная точка, особая точка Линеаризация около точки покоя Дальше букву δ опускаем. - квадратное уравнение с вещ. коэфф.

Корни вещественны и различны Уст. узел Неуст. узел Седло (несут.) Сепаратрисы x y xx yy Фазовая плоскость

Корни вещественные и кратные y x x x x y yy

Корни комплексные (сопряженные) Уст. фокус Неуст. фокус Центр (уст.) Грубые системы Негрубая система Бифуркации Грубые системы на плоскости (второго порядка) y x y y xx

Линейный анализ устойчивости. Система ОДУ Точка покоя. При сдвиге переменных можно считать Линеаризация около точки покоя Важный частный случай:

Критерий устойчивости (в линейном приближении) Характеристическое уравнение алгебраическое уравнение n-ой степени с вещественными коэфффициентами Считаем, что все члены ограничены по t и разлагаются в ряд Тейлора по степеням. Тогда если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то точка покоя асимптотически устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть, то точка покоя несутойчива.

Матрица Гурвица Главные диагональные миноры

Критерий устойчивости Льенара-Шипаро Бифуркации Если все коэфффициенты одного знака, то нет вещественных положительных корней (?) Задача: при каких значениях параметров a, b устойчивы тривиальные решения уравнения (изобразить на плоскости a, b )

Дом. задание Определить тип неподвижной точки (0,0), у седел найти сепаратрисы, у систем с параметрами найти бифуркации: 4. При каких значениях параметра γ устойчиво тривиальное решение ОДУ:

Устойчивость решений уравнений в частных производных Квазиоптическое уравнение для огибающей монохроматического излучения Е в среде с керровской нелинейностью Плосковолновое решение

Линеаризация Рис.

Теория возмущений Алгебраические уравнения (пример квадратного уравнения) Нулевой порядок теории возмущений Первый порядок теории возмущений (для каждого из двух корней отдельно). Для первого корня Для второго корня*

Теория возмущений-2 Нулевой порядок теории возмущений – двойной корень Корневая зависимость от малого параметра. Для уравнения*(n – целое число)

Теория возмущений-3 Корень «приходит из бесконечности». Ограниченная применимость в физических задачах

Теория возмущений-4 простой конечный корень линеаризация уравнения Задача: найти малый корень уравнения (сопроводить графическим анализом)

Теория возмущений для дифференциальных уравнений Стационарное квантово-механическое уравнение Шредингера - гамильтониан, Е – энергия уровня (собств. знач.), Ψ – волновая функция Для частицы массы m во внешнем поле с потенциалом U - возмущение (малая поправка) Стационарная теория возмущений для дискретного спектра

Разложение по с. функциям 0-го порядка Опускаем нижний индекс n Искомую функции Ψ представляем в виде разложения по собственным функциям 0-го приближения Система функций – полная и ортонормированная: Умножаем обе части на и интегрируем

Теория возмущений 1-й порядок теории возмущений Ищем поправки к n-му собственному значению и собственной функции (с учетом нормировки) Условие применимости 2-й порядок