Истина открывается в тиши тем, кто её разыскивает. Д.И.Менделеев

Работа с аргументом функции f(x)=x 2_ 1, f(x+1)= f(x)= f(x)= f(x-5)=x,f(x)= f(2x-3)= (x+1) 2_ 1. f(x-5)=(x-5)+5, x+5 2x-3x 2xx+3 x

Аргумент функции (a-x) 1-xxx1-x f(4-x)=2-3x, f(x)= 2f(1-x)+f(x)=(1-x) 2 2f(x)+f(1-x)=x 2 2A+B=x 2 A+2B=(1-x) 2,. (-2) Ответ: f(x)=A=. (x 2 +2x-1) 2-3(4-x), f(x)=3x-10 A=f(x)B=f(1-x) a-xx x-a-x xa-x

Аргумент функции ( ) xx f( )=x-1, f(x)= f( )+3f(x)= f(x)+3f( )=x 3A+B=A+3B=x,. (-3) Ответ: f(x)=A=. ( ), при x0 A=f(x) B=f( ) X X

Домашнее задание 1) 2. f(x)+f(6-x)=2x+1 2) (x-1). f(x)+f( )= 3) f(x)+x. f( )=2 Ответы: 1) f(x)=2x- 2) f(x)=, при x0;1 3) f(x)=, при x ;1

f(x+y) = f(x)+f(y)

xx y0 f(x)=f(x)+f(0), f(0)=0 xxy-x f(0)=f(x)+f(-x), f(-x)=-f(x) 1) 2) 3) f(k. x)=k. f(x) f(x)=k. x

2005,мгу,биофак. f(x+y)=f(x)+f(y),для всех x,yЄQ,f(10)= -π. Найти f(- ). Решение f(kx)=kf(x), f(-x)=-f(x) - свойства функции удовлетворяющей уравнению f(x+y)=f(x)+f(y), f(kx)=kf(x), f(-x)=-f(x) - свойства функции удовлетворяющей уравнению f(x+y)=f(x)+f(y), т.е. kЄZ, f(10)=f(-35. (- ))= т.е. kЄZ, f(10)=f(-35. (- ))= =-35f(- ), -π=-35f(- ), f(- )=. f(- )=. Ответ: f(- )=.

f(xy)= f(x)+f(y)

f(xy)=f(x)+f(y) xx y1 f(x)=f(x)+f(1), f(1)=0 1) 2)xxy f(1)=f(x)+f( ), f( )=-f(x) f( )=-f(x) 3) f(x 2 )=f(x)+f(x)=2f(x), f(x 2 )=f(x)+f(x)=2f(x), xxyx f(x k )=kf(x) f(x k )=kf(x) Доказательство методом математической индукции

РЕШЕНИЕ: РЕШЕНИЕ: f( )=-f(x) свойство функции удовлетворяющей уравнению f(xy)=f(x)+f(y) f( )=-f(2007), f(2007)=-f( )=-1 Ответ: -1. Ответ: -1. МИЭТ. Олимпиада Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy)=f(x)+f(y). Найдите f(2007), если f( )=1.

f(x+y)=f(x). f(y)

xx y0 xxy-x xxyx 1) f(x)=f(x). f(0), 2) f(0)=f(x). f(-x), 1=f(x). f(-x), f(-x)= 3) f(2x)=f(x). f(x)=f 2 (x) f(kx)=f k (x) f(kx)=f k (x) Доказательство методом математической индукции f(0)=1 или f(x)=0

Найти функцию f(k),если f(1)=2 и для любых натуральных чисел n и k выполняется равенство f(n+k)=f(n). f(k ). (СУПЕР РЕПЕТИТОР 2007) Найти функцию f(k),если f(1)=2 и для любых натуральных чисел n и k выполняется равенство f(n+k)=f(n). f(k ). (СУПЕР РЕПЕТИТОР 2007) :1 способ. Решение :1 способ. f(kn)=f k (n). Если n=1,то f(k)=f k (1). f(k)=2 k. Ответ:f(k)=2 k 2 способ. f(k+1)=f(k). f(1)=f(k). 2=2f(k) f(k)-геометрическая прогрессия,q=2. f(k)=f(1). 2 k-1,f(k)=2 k. Ответ:f(k)=2 k.

Функция f(x) удовлетворяет уравнению f(x+3)=x+5-f(x), при x [0;3) f(x)=1+6,5x-x 2. Найти f(100) Решение: x+3 xxX-3 X-3xxX+3 f(x)=x+2-f(x-3) f(x)=x+2-f(x-3) _________________ - f(x)=x-3+5-f(x-3), 0=-3+f(x+3)-f(x-3), f(x+6)=f(x)+3 f(100)=f( )= Ответ: 47,5 f(x)=x+5-f(x+3) f(x+3)=f(x-3)+3 f(x+6n)=f(x)+3n f(4)+3. 16=4+2-f(1)+48= = 6-6,5+48=47,5 = 6-6,5+48=47,5 f(1)=6,5

Метод шахматной доски Сумма n первых нечётных чисел … n n …=n 2, где n-количество слагаемых

Решение: Решение:f(x)=f(x-1)+2(x-1)+1, 2001,мгу,химфак. f(x) удовлетворяет уравнению f(x+1)=f(x)+2x+1. Найти f(2001),если f(0)=0.f(x)=f(x-1)+2x-1. f(1)=f(0)+1, f(2)=f(1)+3, f(3)=f(2)+5,… f(3)=f(0)+1+3+5, f(n)=f(0)+(1+3+5+…)=n 2 Ответ: f(2001)=2001 2

Доказать, что f(x)=2x- является решением уравнения 2. f(x+2)+f(4-x)=2. x+5 Решение: Решение: f(x+2)= f(x+2)= f(4-x)= f(4-x)= ___________________________ 2. f(x+2)+f(4-x)= Ответ: является (x+2)- =2. x+,| (4-x)- = -2. x 2x+5

Решение Решение f(0)=f(0+0)=2. f(0), 2. f(0)- f(0)=0, f(0)=0. f(0)= f((-2/7)+2/7)= f(-2/7)+f(2/7), 0=f(-2/7)+f(2/7), f(-2/7)=-f(2/7), f(2/7)=-f(-2/7), f(2/7)=a, f(4/7)=2. f(2/7)=2. a, f(6/7)=f(4/7)+f(2/7)=3. a, f(8/7)=2. f(4/7)=4. a, f(16/7)=2. f(8/7)=8. a, f(32/7)=2. f(16/7)=16. a, f(64/7)=2. f(32/7)=32. a, f(10)= f(64/7+6/7)= 32. a+ 3. a=35. a. - π = 35. f(2/7)=35. (-f(-2/7)), f(-2/7)= π /35. Ответ: π / ,мгу,биофак. f(x+y)=f(x)+f(y),для всех x,yЄQ,f(10)= -π. Найти f(-2/7).

2001,мгу,химфак. f(x) удовлетворяет уравнению f(x+1)=f(x)+2x+1. Найти f(2001),если f(0)=0. Решение Решение x n-1, f (n)=f (n-1)+2(n-1)+1, f (n)- f (n-1)=2n-1, a n = f (n)- f(n-1)=2. n-1, a n-1 =f(n-1)- f(n-2)=2(n-2)-1=2n-3, a n-2 =f(n-2)-f(n-3)=2(n-3)-1=2n-5, … a 1 =f(1)-f(0)=f(1)=2. 1-1=1. (a n )-арифметическая прогрессия. a n +a n-1 +a n-2 + … + a 1 +f(0)= =f(n)+f(0)=f (n). f (n)=(a 1 +a n ). n/2=(1+2. n-1). n/2=n. n. f(x)=x. x, f(2001)= Ответ: