Тригонометрические функции любого угла. Тригонометрические функции любого угла. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Геометрия 9 класс. Учитель математики ГБОУ ЦО 170 Кондаурова Т.Г г.

Место урока в теме: первый урок по теме. Тип урока: комбинированный с элементами проблемного обучения. Цели урока: -формирование понятий тригонометрических функций sin, cos, tg, ctg угла и некоторых свойств этих функций; -научить строить угол произвольной градусной меры и определять принадлежность угла к координатной четверти; - научить находить по значению одной тригонометрической функции остальные функции, используя основное тригонометрическое тождество; -развитие умения делать обобщающие выводы. - - Метод :диалогическое изложение материала с использованием ИКТ, с решением стереотипных задач. Структура урока: 1. Актуализация знаний. 2. Формирование новых понятий и способов действий. 3. Формирование умений и навыков. Виды деятельности : групповая, индивидуальная ( учитывая особенности класса).

Геометрическое определение функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Sin A = BC/AB, Sin B = AC/AB. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Cos A = AC/AB, Cos B = CB/AB. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. tg A = CB/AC, tg B = AC/CB. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. ctg A = AC/CB, ctg B = CB/АC. Задание 1. Экзаменационный сборник ГИА 2014 г 2.5.3; А С В

Почему эти отношения назвали тригонометрическими функциями углов? Точка М перемещается по лучу ОN, занимая последовательно положения М(Х,У) и М 1(Х 1; У 1 ). Треугольники МХО и М 1 Х 1 О - подобны по теореме Фалеса, следовательно их сходственные стороны пропорциональны. У/ОМ = У1/ОМ 1 = Sin (NOX) Х/ОМ = Х 1 /ОМ 1 = Cox (NOX) У/Х = У 1 /Х 1 = tg (NOX) Х/У = Х 1 /У 1 = ctg (NOX) Рассматриваемые отношения не зависят от расстояния точки М до начала координат, а зависят только от величины угла поворота NОX. Существует однозначное соответствие между углами поворота луча ОN и величинами приведённых отношений. Вывод: Эти отношения можно считать функциями угла поворота NОX и их называют тригонометрическими функциями, а расстояние точки М от начала координат можно принять равным «1». Y N M 1(X1;Y1 ) M(X;Y) Y Y 1 O X X 1 X

х у О А В С 70° х у 90° 180° 270° 360° 0°0° -90° -180° -270° -360° Построим окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат,т.е. точке (О;О). Радиус R=1. Ось ОХ- ось абсцисс; ось ОУ- ось ординат. Повернем R на 70° против часовой стрелки вокруг точки О. АО

Существует бесконечное множество углов поворота. х у о А Так, если начальный радиус ОА повернуть на 180°, 180° а потом еще на 30°,то угол поворота будет равен 210°. 210° Если начальный радиус ОА сделает полный оборот против часовой стрелки, то угол поворота будет равен 360°. Если начальный радиус сделает полный оборот по часовой стрелке, то угол поворота будет равен (- 360°). 360° Вывод: угол поворота может выражаться каким угодно числом градусов от - до +.

I четвертьII четверть III четвертьIV четверть α 0°0° х у 90° 180° 270° Так, если 0° α 90°, то угол в I четверти; - если 90° α 180°, то угол во II четверти; -если 180° α 270°, то угол в III четверти; -если 270° α 360°, то угол в IV четверти. Задание 2. В какой четверти находиться угол 420°? Чему равен синус этого угла? т.к. 420°= 360°+60° и 0 ° 60° 90°, то этот угол лежит в I четверти. Пользуясь таблицей значений тригонометрических функций, находим: синус 60°равен 3/2. Углы 0°, ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не относятся ни к какой четверти. АО В

у ОА В(х; у) х Пусть R =ОА=1. Повернём радиус на угол a против часовой стрелки относительно точки (О;0) Синусом угла α называется ордината точки единичной окружности, соответствующая углу поворота a. R Косинусом угла α называется абсцисса точки единичной окружности,соответствующая углу поворота a. у ОА В(х; у) х R у ОА х R α α Тригонометрические определения функций синуса, косинуса, тангенса, котангенса Sinα=Y/R=YCosα=X/R=X

у ОА В(х; у) х Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе. tg α= y x у ОА В(х; у) х Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате. ctg α= x y α α

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) По теореме Пифагора для треугольника АОВ имеем: OB² = ОА² + АB², так как ОВ = 1, АО = Соs a, AB = Sin a, то Sin²a + Cos²a = 1. Sin a= ±1 – Cos² a; Cos a= ±1- Sin²a Решение: Cos a = - 1 –Sin²a =- 1-(1/2)²= /4 = = -3/4= = - 3/2. Вывод: Выбор знака перед корнем определяется знаком функции, стоящей в левой части. R = 1 у В а 0) х А x Задание 3 Вычислить Cos a, если Sin a=1/2 и угол находиться 90° < α < 180°,т.е. во второй четверти. o R a А

Решаем варианты заданий из сборника ГИА 2014 года Задания Дано: АВС, угол С= 90°,Sin a = 3/2. Найти: Cos a-? По ОТТ имеем Cos a = 1- Sin²a = 1- (3/2)² = 1-3/4= 1/2= 0,5 Угол a = 60°. Задание Дано: АВС, угол С= 90°, Cos a = 2/4. Найти: tg a -? По ОТТ имеем Sin a = 1 - Cos² a = 1- (2/4)² = 1- 2/16 = 14/16 = 14/4. tg a = Sin a : Cos a = 14/4 : 2/4 = 14 : 2 = 7. Задание Дано: АВС, угол С= 90°,Sin a = 5/41. Найти: ctg β -? Так как, ctg β = Cos β : Sin β и Cos β = Sin a = 5/41 по определению функций,то Sin β = 1- Cos² β = 1- (5/ 41)² = 16/41 = 4/41. Тогда ctg β = (5/41) : (4/41) = 5:4= 1,25