МНОГОГРАННИКИ призма пирамида

ПРИЗМА правильная прямая наклонная Сопутствующие понятия: -вершины; - диагонали граней; -грани; - диагонали призмы; -ребра; - диагональное сечение; - высота призмы - поверхность призмы

ПРИЗМА А В С В А С А В С Д С В Д А ТРЕУГОЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ ПРЯМАЯ

НАКЛОННАЯ ПРИЗМА МNF-перпендикулярное сечение треугольной наклонной призмы Перпендикулярным сечением наклонной призмы называется ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их. ТРЕУГОЛЬНАЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНАЯ М N F С Д К R

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Задача 2 Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали призмы 8 см и 5 мс. Высота призмы 2 см. Найти длину стороны основания призмы и полную поверхность призмы. Задача 1. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой равной а, и острым углом α. Через катет основания прилежащий к углу α, проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол γ и пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения. Задача 3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, высота 1,5 а.Через сторону основания и противолежащую вершину другого основания проведено сечение. Найдите: а)высоту основания ; б)угол между основанием и сечением; в)отношение площадей основания и сечения; г)боковую поверхность призмы.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 3.ΔДВС- прямоугольный, найдем площадь этого треугольника по формуле S =½ ДВ· ВС, АС = а. ΔАВС по условию прямоугольный, катет АВ= АС · sin α. = а· sin α ВС = а · cos α 4.ΔДВА- прямоугольный, так как призма прямая, ДВ = АВ/ cos γ = а sin α / cos γ S=½· а· cos α·а· sin α/ cos γ = а² sin2 α/ 4 cos γ Ответ: S = а² sin2 α/ 4 cos γ А В С СА В Задача 1. Д 1.ΔДВС- сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро ВС и пересекающей ребро АА 2. Угол ДВА – линейный угол двугранного угла ДВСА,так как АВ перпендикулярна ВС по условию, ДВ перпендикулярна ВС по теореме о 3- х перпендикулярах.

ЗАДАЧА 2 1.ΔВВД и ААС- прямоугольные, так как призма АВСДАВСД прямая. АС²=АС²+АА², АС²=64-4=60, АС=215 2.ДВ²=ВД²+ВВ², ДВ=25-4=21, ДВ=21 3.ΔДОС- прямоугольный ( по свойству диагоналей ромба) 4.СД²=ОС²+ОД²,СД²=15+21/4=(60+21)/4 СД=4,5 Ответ: сторона ромба 4,5 см

ЗАДАЧА 3 А В В А С С Д 1.Δ АВС- сечение призмы плоскостью,. проходящей через сторону основания и противоположную вершину В. 2.Δ ВВА и ВВС- равны, так как в основании призмы правильный треугольник и высота призмы боковое ребро, АВ=СВ, Δ АВС - равнобедренный. 3.ВД=а 3 /2(ΔАВС- правильный) 4. Угол ВДВ –есть угол между плоскостью основания и сечением, так как ВД перпендикулярна АС по построению, а ДВ - перпендикулярна АС по теореме о трех перпендикулярах. Обозначим его β. 5.. Δ ВВД- прямоугольный,так как по условию призма правильная. ВД²=2,25 а²+0,75 а²=3 а²,ВД=а 3 6. sing=ВВ: ДВ=1,5 а: а 3,sin β = 3/2, угол β равен 60˚ 7.S=а²3 /4, а площадь сечения равна а²3 /2, 8. Отношение площадей основания и сечения равно ½.

ЗАДАЧА С 2. А С В С Д В А Д О АВСДАВСД -прямоугольный параллелепипед, у которого АВ=6 см, ВС=6 см, СС=4. Найти тангенс угла между плоскостями АСД и АВС. Решение: 1. Углом между данными плоскостями является угол ДОД, так как ДО перпендикулярна АС и ДО перпендикулярна АС. tgα = ДД: ДО. ДО=1/2 ДВ=З2. ДД= 4, tgα=4/32=22/3

ЗАДАЧА С 4 АВСД- равнобедренная трапеция, ВС=44, АД=100, СД=35. Найти СК. Решение: АЕ=(100-44):2= 28, ВЕ=21 АС=75 АМ=АF,СМ=СК, FД=ДК, АМ=АС-СК, АF= АД-ДК, ДК= СД-СК. АС-СК=АД-СД+СК, 2 СК=АС+СД-АД СК=(75 В А С Д К F Е М

ЗАДАЧА С 4 АВСД-квадрат,АВ=4, К- середина АВ, tgα=3. Найти площадь треугольника ВМТ. Решение: 1.АТ= 2· tgα= 2·3=6. SАКТ/= 1 / 2 АК·АТ= 1 / 2·2 ·6=6 SВМТ = SКВТ SВКМ, S КВМ= 1/2·2·4=4 SВМТ = 64=2 А В С Д К Т М

Задача 4. В правильной четырехугольной призме АВСДАВСД сторона основания равна а, боковое ребро а 14 /4. Через диагональ основания ВД и середину ДС проведена плоскость. Найти площадь сечения. Задача 5. В прямом параллелепипеде АВСДАВСД основанием служит ромб со стороной m, угол АДС равен 135˚. Через сторону ДС и вершину А проведена плоскость под углом 60˚ к плоскости основания. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения. Задача 6. В прямом параллелепипеде АВСДАВСД ВС=7,СД=15,угол ВСД равен 60˚.Через диагональ ВД и вершину С проведена плоскость под углом 45˚ к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности. Задача 7. В правильной шестиугольной призме диагонали равны 10 и 8 см Найти сторону основания призмы.

Задачи для самостоятельного решения Задача 8 Стороны основания прямого параллелепипеда 6 см и 4 см,угол между ними равен 60˚.Диагональ большей боковой грани равна 10 см. Найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда. Задача 9. Основанием прямой призмы служит треугольник, стороны которого 5 см,5 см и 6 см, высота призмы равна большей высоте этого треугольника. Найдите площадь полной поверхности призмы. Задача 10. Стороны основания прямого параллелепипеда 8 см и 10 см,одна из диагоналей основания равна 6 см, площадь меньшего диагонального сечения равна 36 см².Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. Задача 11. Стороны основания прямого параллелепипеда,равные 7 см и 18,образуют угол 135˚, меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60˚.Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

ЗАДАЧА. Основание призмы- правильный треугольник АВС. Боковое ребро АА образует равные острые углы со сторонам АВ и АС.Докажите, что: а) ВС перпендикулярно АА б)грань ВВСС- прямоугольник. А А В С С В Д Решение: 1. Так как А А образует равные острые углы со сторонами АВ и АС. то проекцией ребра А А на плоскость АВС является отрезок АО биссектрисы угла ВАС. 2. ВС перпендикулярно АО ( ΔАВС- правильный), следовательно ВС перпендикулярно АА по теореме о 3-х перпендикулярах. 3. ВС перпендикулярно АА, ААΙΙ ВВ, ВС перпендикулярно ВВ. 4. ВВСС- прямоугольник. О

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «НАКЛОННАЯ ПРИЗМА» 1. В наклонной треугольной призме площади двух боковых граней равны 6 и 32 см². Угол между ними равен 135˚. Найти площадь боковой поверхности призмы, если длина бокового ребра равна 3 см. 2. В наклонном параллелепипеде АВСД А В С Д боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности 880. Расстояния от ребра ДД до ребер СС и АА относятся как 7: 15. Расстояние между ребрами АА и СС равно 26. Найти углы между смежными боковыми гранями параллелепипеда. 3. Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и в. Боковое ребро длиной с образует со смежными сторонами основания углы, равные γ. Найдите высоту параллелепипеда. 4. Все грани параллелепипеда равные ромбы со стороной а и острым углом α. Найдите высоту параллелепипеда. 5 Основанием параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и в. Боковое ребро длиной с образует со смежными сторонами основания углы, равные γ. Найдите высоту параллелепипеда.

ПИРАМИДА Сопутствующие понятия: правильная -вершина; диагональное сечение; -ребра; боковая поверхность; -основание; полная поверхность. -высота; -апофема; М С Д А В Д А В С

ЗАДАЧИ НА ПРАВИЛЬНУЮ ПИРАМИДУ. Задача 2. Найти апофему правильной треугольной пирамиды и полную поверхность, если высота пирамиды и высота основания равны 9. Задача 1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а сторона основания 8 см.Найти боковое ребро, и площадь боковой поверхности пирамиды. Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота пирамиды равна 3 а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ПИРАМИДА» А М В С Д О М А В С Д О ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА N S=1/2 Р·ДМ, а = R3, а = 2r 3 S=а²3 /4 S=1/2Р·MN, а =R2, а=2r S= а².

S А В С Д F Задачи А В С М F S=1/2 Р · SK, а =R, а=2r3 /3, Ѕ =3 а²3/2 К S=S+S+S+S Задача 1. В правильной шестиугольной пирамиде высота SO=4 см, апофема SK = 5 см, Найти полную поверхность пирамиды Задача 2. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Боковое ребро против стороны 14 см перпендикулярно к плоскости основания и равно 16 см. Найти полную поверхность пирамиды. О

Задача 3 АВ С Д М О Дано: МАВСД –пирамида, АВСД- ромб, АВ= а см и угол ВАД равен 60˚.Боковые грани наклонены к основанию под углом 45˚. Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности. Р Задача 4 Дано: МАСВ- пирамида, Δ АВС равнобедренный, АВ=АС,ВС=24, АК- высота и равна 5. Высоты боковых граней равны между собой. Высота пирамиды равна 12. Найти площадь боковой и полной поверхности пирамиды М А С В КО

УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА АВСДАВСД- ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА. Сопутствующие понятия: 1. ОСНОВАНИЯ 2. БОКОВЫЕ РЕБРА 3. ВЫСОТА. 4. БОКОВЫЕ ГРАНИ. 5. АПОФЕМА. 6 диагональное сечение 7. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ 8. ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ. А В С В Д Д С А1 О О М N

Задача. 1 В правильной четырехугольной усеченной пирамиде апофема равна 12 см, боковое ребро равно 13 см и боковая поверхность равна 720 см² Найти стороны оснований. Задача 2. В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60˚. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Задача 3. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 10 и 8 см,площадь диагонального сечения 810 см². Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Правильный многогранник Правильный многогранник, или Платоново тело это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией. Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани являются равными правильными многоугольниками; В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер. Додекаэдр

Список правильных многогранников Изображение Тип правильного многогранник а Число сторон у грани Число рёбер, примыкающих к вершине Общее число вершин Общее число рёбер Общее число граней Тетраэдр Гексаэдр или Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Существует всего пять правильных многогранников :

История

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360 г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух октаэдру, вода икосаэдру, а огонь тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.Платона Тимей Аристотель

КОНУС АВ- образующая конуса, АО- ось конуса, АО- высота, АВС- осевое сечение, ОК- радиус основания конуса. АВМ-сечение, проходящее вершину конуса и не содержащее ось. А ВС О Д К М О В С А Сечение, перпендикулярное оси конуса- есть круг. S п= S о + S б, S б = πrl, где r-радиус основания, l-образующая конуса О

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ. Задача 1.Дано: r=5 см. =13 см. Найти: H. Ѕ б Задача 2.Дано: угол АВС равен 90°, = 3 2 см.Найти r, Н Задача 3.АВС-равносторонний, =12, r=10. Найти ОК,H. Задача 4. Угол АВС равен 120°, образующая 6 см.Найти r, Sп С В А О О К С А В Задача 5. H=12,угол ОКВ равен 30°,дуга АС равна 60°.Найти r,, Sб.

Задача. Высота конуса равна h см. Через образующие ВА и ВД проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол α. Хорда АД стягивает дугу с градусной мерой β.Найти расстояние от центра основания до секущей плоскости и площадь сечения. В СА Д О М К

УСЕЧЕННЫЙ КОНУС АВСД- осевое сечение конуса, равнобедренная трапеция,l- образующая конуса, h- высота, r и r радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса. Sб= πl(r+r), Sп = S но + S во + Sб S но =πr², S во =πr² А В СД О О l h r r

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ: ЦИЛИНДР ОО- ось цилиндра, АВ- образующая ОК- радиус цилиндра, АВСД- осевое сечение.Sб=2πRH, Sn= 2πR²+ 2πRH О О А В Д С К О О А В С Д М АДВС- сечение цилиндра параллельное оси ОО, ОМ- расстояние от оси до плоскости сечения.

ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ -образующая конуса,r-радиус основания, h-высота, α-угол между образующей и осью, S-площадь осевого сечения l 5 2,5 268 r 1,52320 h 2315 S 253 4,5 α 30°3045° SбSб 16π SпSп