Презентация на тему "История возникновения математики" - презентация

1 История возникновения алгебры и геометрии

2 История возникновения алгебры Алгебра, вместе с арифметикой, есть наука о числах и о величинах вообще. Различие между арифметикой и алгеброй состоит в том, что первая наука исследует свойства данных, определённых величин, значение которых может быть произвольное, а, следовательно, алгебра изучает только те свойства величин, которые общие всем величинам, независимо от их значений. Алгебру делят на низшую и высшую. К низшей алгебре относят теорию простейших арифметических операций над алгебраическими выражениями, решение уравнений первой и второй степени, теорию степеней и корней, теорию логарифмов и комбинаторику. К высшей алгебре относят теорию уравнений произвольных степеней, теорию исключений, теорию симметричных функций, теорию подстановок, и, наконец, изложение различных частных способов отделения корней уравнений, определения числа вещественных или мнимых корней данного уравнения с численными коэффициентами, и приближённое или аналитическое (когда это возможно) уравнений произвольных степеней.

3 Диофант Александрийский Первые дошедшие до нас сочинения, содержащие исследование алгебраических вопросов, это работы Диофа́нта Александри́ейского древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Основное произведение Диофанта «Арифметика» в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13. Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной символом. Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубок- кубокм, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами σ.

4 Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у аль-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям. Бо́льшая часть труда это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В X веке »Арифметика» была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама продолжили некоторые исследования Диофанта. Трактат Диофанта «О многоугольных числах» сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем. Из сочинений Диофанта «Об измерении поверхностей» и «Об умножении» также сохранились лишь отрывки. В честь Диофанта назван кратер на Луне.

5 Задача о возрасте Диофанта Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Ответ: 84 года

6 Древняя Индия Ещё в глубокой древности Индия славилась знаниями в области астрономии, грамматики и других наук. Наибольших успехов индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых прошли дальше греков. Наиболее известными индийскими математиками являются Архиабхата (конец 1 века), Брахмагупта (12 век). Именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем,расположенным над знаменателем(но без горизонтальной черты, отделяющей числитель от знаменателя). Правила извлечения квадратного и кубического корней привел индийский математик Арьябхата (род. Ок. 475) в своем сочинении «Арьябхатия», написанном в 499 г.

7 Древний мир Описание извлечения квадратного и кубического корня в древнем китайском трактате является наиболее ранним в истории математики. Вавилоняне для извлечения стандартных квадратных корней пользовались таблицами, обратными по отношению к таблицам квадратов. Сохранилось еще несколько примеров нахождения вавилонянами приближенных значений квадратных корней. Вавилоняне для извлечения стандартных квадратных корней пользовались таблицами, обратными по отношению к таблицам квадратов. Сохранилось еще несколько примеров нахождения вавилонянами приближенных значений квадратных корней. В Европе извлечения квадратного корня, основанное на разложении квадрата суммы, впервые встречается в написанных во второй половине IV в. Теоном Александрийским комментариях к астрономическому сочинению Птоломея «Великое построение», позже названному «Альмагестом».

8 Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми Математик, астроном и географ, основатель классической алгебры. Родился в Хорезме в 783 году. Аль-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшую популяризации десятичной позиционной системы записи чисел. Книга сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр. Имя автора в латинизированной форме ( Algorismus, Algorithmus) стало обозначать в средневековой Европе всю систему десятичной арифметики; отсюда берёт начало современный термин алгоритм. Примерно в 830 году Мухаммед создал первый известный арабский трактат по алгебре. Аль-Хорезми известен своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» (Китаб аль-джебр валь мукабала), от названия которой произошло слово « алгебра ». В теоретической части своего трактата аль- Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов.

9 «Алгебра» аль-Хорезми, положившая начало развития новой самостоятельной научной дисциплины, позднее комментировалась и совершенствовалась многими восточными математиками. Эта книга была дважды переведена в XII веке на латинский язык и сыграла чрезвычайно важную роль в развитии математики в Европе. Под непосредственным влиянием этого труда находился такой выдающийся европейский математик XIII в., как Леонардо Пизанский. Аль-Хорезми отделил алгебру от геометрии. Для решения уравнений аль-Хорезми вводит два действия: 1. аль-джебр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. 2.аль-мукабала состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, аль- Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач. Трактат по алгебре включает также «главу о сделках» (в которой рассматривается правило для нахождения неизвестного члена пропорции по трём известным членам).

10

11 Омар Хайям Омар Хайям – всемирно известный классик персидско-таджикской поэзии, ученый, математик, астроном, поэт и философ. Первый научный трактат Хайяма «Проблемы арифметики « не сохранился, по косвенным свидетельствам его тема – извлечение корня и правило разложения натуральной степени двучлена, известного как бином Ньютона. В Самарканде был написан его труд «О доказательствах задач алгебры и аллукабалы» (1069). В этом трактате приведены решения уравнений до третьей степени включительно, там же дана классификация кубических уравнений.

12 Леонардо Пизанский Первым сочинением, появившемся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по Востоку, ознакомился там с индийскими числами(ныне называемыми арабскими),и с арифметикой и алгеброй арабов. Леонардо Пизанский ( гг, Пиза) первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи. Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака» (1202 год; до наших дней сохранилась только дополненная рукопись 1228 года). Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Леонардо впервые в Европе использовал отрицательные числа, которые рассматривал как долг.

13 Другая книга Фибоначчи, «Практика геометрии» (1220 год), содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло). Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, не указывая способа своего решения. В трактате «Цветок» (1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, не указывая способа своего решения.

14 В честь учёного назван числовой ряд, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта числовая последовательность носит название чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, «Задача о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащи 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

15 Франсуа Виет Франсуа Виет ( ) французский математик, основоположник символической алгебры. Родился в 1540 году в Фонтене-ле- Конт. Франсуа Виет предложил новый язык «общей арифметики» символический язык алгебры. Виет чётко представлял себе конечную цель разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая дала бы возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью.

16 Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. Он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин « коэффициенты ». Виет использовал для этого только заглавные буквы гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов. Франсуа Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Из знаков операций Виет использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось предлогом «in». Вместо скобок он, как и другие математики XVI века, надчёркивал сверху выделяемое выражение. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно. Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Около 1570 года подготовил «Математический Канон» капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году. Практически современный вид алгебраический язык получил в XVII веке у Декарта.

17 В развитии буквенной символики алгебры многие ученые сыграли свою роль. Это и Аль-Каши(ввел понятие десятичной дроби), и Иоганн Кеплер(предложил ставить запятую после целой части десятичной дроби),и Ян Видман(впервые употребил знаки + и -), и Роберт Рикордон(впервые ввел знак =), и Джон Виллис(ввел знак бесконечности), и Рене Декарт,и Готфрид Лейбниц(впервые использовал знаки умножения, в виде точки, и деления, в виде двух точек). Эти и многие другие ученые в разные столетия вносили свой вклад в развитие алгебры. И то, что сейчас мы изучаем в школе, раньше считалось величайшим открытием.

18 История возникновения геометрии Слово «геометрия» греческого происхождения. В буквальном смысле оно означает «землемерие». Геометрия -это наука, изучающая формы,размеры и взаимное расположение фигур. Возникла геометрия в Египте более 4000 лет назад. Древние египтяне сумели довольно точно определять площади фигур, объёмы некоторых тел, решать некоторые другие геометрические задачи. Но геометрии как науки у них не было. У них было много различных правил-рецептов, не соединенных между собой общей идеей, не приведённых в единую стройную систему. Египет стали посещать ученые. И достижения египетской науки постепенно стали известны древним грекам. Но греки не просто усвоили достижения египтян. Они исправили их ошибки и развивали геометрию дальше. Именно в древней Греции около 2500 лет назад геометрия стала математической наукой. Ни в египетских, ни в вавилонских текстах мы не находим ничего, что хотя бы отдаленно было похоже на математическое доказательство. Понятие о доказательстве ввели греки, и это является их величайшей заслугой. Греки ввели принцип, согласно которому каждое утверждение, касающееся чисел и фигур (формула), за исключением лишь небольшого числа, должно быть доказано, выведено убедительным, не допускающим сомнений образом из этих «совершенно очевидных» истин. Творцы египетской и вавилонской математики остались безымянными. Греки сохранили имена своих мудрецов.

19 Фалес Милетский Первое из них имя Фалеса Милетского является также первым именем, вошедшим в историю науки. Фалес жил в VI в. до н. э. в городе Милете на Малоазиатском побережье Эгеейского моря. Фалес, как утверждают греки, дал миру первые математические доказательства. В числе доказанных им положений (теорем) называют следующие: Диаметр делит круг на две равные части. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Два треугольника, у которых одинаковы стороны и прилежащие к ней углы, равны. Кроме того, он первый дал построение круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника. Простейший характер указанных теорем, их интуитивная очевидность показывают, что Фалес полностью осознавал значение доказательства как такового.

20 Евклид Евклид – древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Евклид – первый математик Александрийской школы. Его главная работа – «Начала»; в ней он подвел итог всему предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.В «Началах» был развит аксиоматический подход к построению геометрии,который состоит в том,что сначала формулируются основные положения(аксиомы),а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения. Евклид так же был автором работ по астрономии, оптике, музыке и др.

21 Архимед Архимед (287 до н. э. – 212 до н. э.) - древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Отец Архимеда с детства привил сыну любовь к математике, механике и астрономии. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объем призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашел гораздо более общий метод вычисления площадей или объемов. Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру. В работе «об измерении круга» Архимед дал свое знаменитое приближение для числа π. В работе «об измерении круга» Архимед дал свое знаменитое приближение для числа π.

22 Пифагор Пифагор Самосский - древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных. В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы : квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание, известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет. В то же время, научные заслуги школы пифагорейцев в математике и космологии бесспорны.

23 Рене Декарт Рене Декарт ( ) - французский математик, физик и физиолог, философ. Декарт разработал курс аналитической геометрии. Этот человек является автором нынешней алгебраической символики. В 1637 году вышел в свет главный философско- математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе правильная формулировка закона преломления света) и многое другое. В работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Декарту принадлежит заслуга создания современных систем обозначений: он ввел знаки переменных величин (x, y, z...), коэффициентов (a, b, c...), обозначение степеней (a2, x-1...).

24 Декарт сформулировал основную теорему алгебры: "число корней алгебраического уравнения равно его степени", доказательство которой было получено лишь в конце 18 в. К.Ф. Гауссом. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Главное достижение Декарта - построение аналитической геометрии (термин предложил Ньютон), в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. При переходе на алгебраический язык многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными. Главное достижение Декарта - построение аналитической геометрии (термин предложил Ньютон), в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. При переходе на алгебраический язык многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными. Записи формул алгебры у Декарта почти не отличаются от современной. Большое значение для формулировок общих теорем алгебры имела запись уравнений, при которой в одной из частей стоит нуль. Декарт проводил научные исследования свойств уравнений; сформулировал положение о том, что число действительных и комплексных корней уравнения равно его степени.

25 Пьер Ферма ( ) Ферма постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с современниками. Например, в своём письме, получившем название «Второго вызова математикам» (февраль 1657), он предложил найти общее правило решения уравнения Пелля в целых числах. В письме он предлагал найти решения при a=149, 109, 433. Полное решение задачи Ферма было найдено лишь в 1759 году Эйлером. Начал Ферма с задач про магические квадраты и кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чисел арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Эйлер доказал (1749) ещё одну гипотезу Ферма (сам Ферма редко приводил доказательства своих утверждений): простые числа вида 4k+1 представляются в виде суммы квадратов (5=4+1; 13=9+4), причём единственным способом, а для чисел, содержащих в своём разложении на простые множители простые числа вида 4k+3 в нечётной степени, такое представление невозможно. Наряду с Декартом, Ферма считается основателем аналитической геометрии. В работе «Введение к теории плоских и пространственных мест», ставшей известной в 1636 году.

26 Потребности жизни заставляли людей находить способы измерения площадей и объемов в разных странах и в разное время. Потребности жизни заставляли людей находить способы измерения площадей и объемов в разных странах и в разное время. Ученые Древней Греции, Индии, Китая, Европы работали над одними и теми же задачами. Ученые Древней Греции, Индии, Китая, Европы работали над одними и теми же задачами. Ученые, жившие после Евклида добавили к «Началам» несколько новых теорем,кое-что изменили, но основная масса материала, границы,определяющие ее объем и метод остались прежними. Поэтому геометрия, которую мы изучаем, называется Евклидовой. Ученые, жившие после Евклида добавили к «Началам» несколько новых теорем,кое-что изменили, но основная масса материала, границы,определяющие ее объем и метод остались прежними. Поэтому геометрия, которую мы изучаем, называется Евклидовой.