Элементы комбинаторики. 1.ЧЧто изучает комбинаторика. 2.ППерестановки: a)ЧЧисло перестановок. b)ППример. 3.РРазмещения: a)ЧЧисло размещений. b)ППример. - презентация

1 Элементы комбинаторики

2 1. ЧЧто изучает комбинаторика. 2.ППерестановки: a)ЧЧисло перестановок. b)ППример. 3.РРазмещения: a)ЧЧисло размещений. b)ППример. 4.ССочетания: a)ЧЧисло сочетаний. b)ППример.

3 Что изучает комбинаторика. Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Учёные математики которые внесли первыми вклад в построение теории комбинаторики: Г. Лейбниц ( ) Я. Бернулли ( ) Л. Эйлер ( )

4 Перестановки. Отличающиеся друг от друга порядком набора, составленные из всех элементов данного множества, называются перестановками этого множества. Пример. Множество, состоящие из трёх элементов (1,2,3), имеет следующие перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3.1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2).

5 Число перестановок. Число размещений из n элементов по k определяется по формуле:

6 Пример. Задача. Цифры 0,1,2,3 написаны на четырёх карточках. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из этих карточек? Решение. Число различных комбинаций из четырёх цифр равно 4! Не все эти комбинации являются четырёхзначными числами, так как есть комбинации, начинающиеся с нуля. Таким комбинаций будет 3! и их нужно исключить. В результате число различных чисел равно 4!-3!=18

7 Размещения. Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранных из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k. Пример. Различными размещениями множества из трёх элементов (1,2,3) по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

8 Число размещений. Число размещений из n элементов по k определяется по формуле:

9 Пример. Задача. Студентам надо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание сдачи экзаменов? Решение. Занумеруем дни сдачи экзаменов цифрами 1,2,…,8. Выберем дни для сдачи экзаменов например,(2,4,5,7),а затем порядок сдачи экзаменов. Таким образом, нужно составить различные наборы четырёх чисел из восьми, которые отличаются друг от друга не только элементами, но и порядком. Таких наборов будет:

10 Сочетания. Не упорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Пример. Для множества (1,2,3) сочетаниями по два элемента являются (1,2), (1,3), (2,3).

11 Число сочетаний. Число сочетаний из n элементов по k определяются по формуле:

12 Пример. Задача. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире? Решение. Различные пары команд образуют сочетания из 6 по 2, поскольку порядок среди двух команд, играющих в одной игре, нам безразличен. Следовательно, число игр будет равно: