Автор ЛЕОНТЬЕВА РАИСА НИКОЛАЕВНА, учитель математики I категории МОУ Новохоперская СОШ 2, педагогический стаж работы 38 лет. - презентация

1 Автор ЛЕОНТЬЕВА РАИСА НИКОЛАЕВНА, учитель математики I категории МОУ Новохоперская СОШ 2, педагогический стаж работы 38 лет.

2 Повторительно- обобщающий урок Тема: Тригонометрические уравнения

3 Цели и задачи Актуализация опорных знаний решения простейших тригонометрических уравнений, применение условия равенства произведения множителей нулю, обобщение и систематизация знаний и методов решения тригонометрических уравнений. Применение обобщенных знаний, умений и навыков в новых условиях –создание проблемной ситуации, ознакомить с решением тригонометрических уравнений с использованием области определения. Контроль и самоконтроль знаний с помощью самостоятельной работы на уроке. Применение тригонометрии в физике. Развитие логического мышления, умение работать с дополнительным материалом, применять знания в других разделах наук (физике),развивать умение сравнивать,обобщать, правильно выбирать ответ задачи излагать мысли. Воспитание интереса и любви к предмету через содержание учебного материала, умение работать в коллективе, культуры общения, межпредметные связи, таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели. Умение не растеряться в проблемных ситуациях. ОБОРУДОВАНИЕ: экран,телевизор, карточки-инструкции, справочный материал, карточки с дифференцированными заданиями для самостоятельной работы.

4 Структура урока 1. Организационный момент 2. Доклад об истории развития тригонометрии 3. Решение тригонометрических уравнений, содержащих одну и туже функцию одного и того же аргумента, методом подстановки. 4. Решение тригонометрических уравнений, приводящих к предыдущему типу, по формулам: 5. Решение однородных уравнений 6. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители 7. Решение физических задач с использованием тригонометрических уравнений 8. Решение уравнений различными способами. Область определения. 9. Самостоятельная работа. 10. Итог урока. 11. Задание на дом.

5 Истории развития тригонометрии Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г) в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Различные отношения отрезков треугольника и окружности и тригонометрические функции встречаются уже в III в.до н.э в работах великих математиков Древней Греции-Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского. Слово синус с латинского –изгиб, кривая. Слово косинус-«дополнительный синус» Тангенсы возникли в связи с решением задач об определении длины тени. Тангенсы были открыты в XIVв. Сначала английским ученым Браврдином,а потом немецким астрономом Региомонтоном. Современные обозначения arcSin, arcCos, Arctg появляются в работах Лагранжа, Бернулли. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик XVIII столетия Л.Эйлер( ). Он составил 800 работ. Эйлер ввел первым определения тригонометрических функций, получил формулы приведения, доказал много теорем, относящихся к самым разным областям математики.

6 ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ ПТОЛЕМЕЙ АРХИМЕД ЛАГРАНЖ БЕРНУЛЛИ ЭЙЛЕР

7 Организация урока Класс разбит на шесть групп и каждая группа получает одно из заданий, перечисленных в плане урока. Используют в работе соответствующие разделы учебника, дополнительный материал. На доске и в тетрадях учащихся написаны схемы решения каждого из простейших уравнений. Sin x = a, Cos x = a Если а > 1, то х. Если |а | <1, то х=(-1) n arcsin a + n, n Z. Особые случаи: sin x=1, x= /2 +2 k, k Z. sin x=-1, x= - /2 +2 m, m Z. sin x=0, x= n, n Z. y x0 a arcsin a + (2m+1), m Z arcsin a + (2k), k Z y x0 a arccos x + 2 n, n Z arccos x + 2 m, m Z Если а > 1, то х. Если |а | <1, то х=±arccos a + 2 n, n Z. Особые случаи: cos x=1, x= 2 k, k Z. cos x=-1, x= +2 m, m Z. cos x=0, x= /2+ n, n Z.

8 tg x = a, ctg x = a x = arctg a + n, n Z. Особый случай: tg x =0, x = k, k Z x = arcctg a + n, n Z. Особый случай: сtg x =0, x = m, m Z y x0 -arctg a +2πn, n Z arctg a +π(2k+1), k Z y x0 π +arcctg a +2πm, m Z arcctg a +2πl, l Z

9 Метод подстановки 2 sin 2 2x + 5 sin 2x – 3=0. Пусть sin 2x = t ( |t| 1). 2 t t – 3=0 t 1 =1/2; t 2 = -3 – посторонний корень, так как |-3|>1 sin 2x = 1/2; x sin 2x = 1/2; x=(-1) n /12 + n/2, n Z.

10 Использование формул cos ((2x)/3) – 5 cos (x/3) – 2 = 0 Пусть cos (x/3) = t, |t| 1, тогда cos ((2x)/3) = 2t 2 – 1. 2t 2 – 5t – 3 =0; t 1 =3 - посторонний корень, так как |3|>1, t 2 =-1/2 cos (x/3) = -1/2; x = ±2 +6 n, n Z

11 Однородные уравнения a sin x + b cos x – однородное тригонометрическое уравнение первой степени относительно sin x + b cos x. Оно решается делением обоих частей на cos x 0. В результате получается уравнение вида a tg x + b=0 и т.д. 3sin 2 x+sin x·cos x = 2 cos 2 x 3sin 2 x+sin x·cos x - 2 cos 2 x = 0 | cos 2 x 3tg 2 x+tg x – 2 =0 tg x = -1 или tg x = 2/3 x= - /4 + n,x=arctg(2/3) + k, n Z;k Z

12 Найдите ошибку

13 Разложение на множители 2sin 3 x+cos x · sin2x = -1. Найдите все корни, принадлежащие [0; 2 ]. 2sin 3 x+cos 2 x · sin x = -1, 2sin x(sin 2 x+cos 2 x) = -1, 2sin x= -1, x 2sin x= -1, x =(-1) n+1 /6 + n, n Z. Найдем все корни, принадлежащие [0; 2 ]. n=0, тогда x=- /6 [0; 2 ]; n=1, тогда x=7/6 [0; 2 ]; n=2, тогда x=11/6 [0; 2 ]; n=3, тогда x=19 /6 [0; 2 ]; Ответ:1) x Ответ:1) x =(-1) n+1 /6 + n, n Z. 7/6 и 11/6 [0; 2 ] 2) 7/6 и 11/6 [0; 2 ]

14 Решение задач по физике Спортсмен на соревнованиях, проходивших в Осло, послал копье на 90 м 86 см. Какое расстояние пролетело бы копье, если оно было пущено с такой же скоростью и под тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения в Осло равно 9,819, а в Токио – 9, h max x y l Дано: l1=90.86 м g1=9.819 м/с 2 g2=9.798 м/с 2 L2-?

15 Решение уравнений различными способами Использование области определения Рассмотрим метод решения уравнения вида f(x)=g(x). Это метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых функции с ограниченной областью определения, такие, как y=arcsin x, y = arccos x

16 Решение уравнений различными способами Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), D(f) – область определения функции f(x), D(g) – область определения функции g(x), D(f)D(g) = {a}, то если уравнение f(x)=g(x) имеет решение, им является число а. Следовательно, если уравнение имеет корень, то им может быть только х=1. Проверим это с помощью прямой подстановки значения х=1 в уравнение. Так как, то х=1 – единственный корень данного уравнения. На рисунке приведена графическая иллюстрация данного примера.

17 Решение уравнений различными способами Пусть имеется уравнение вида f(x)=g(x), D(f) – область определения функции f(x), D(g) – область определения функции g(x), D(f)D(g) = {a 1, a 2,..a n }, то действительные корни данного уравнения находятся среди a 1, a 2,..a n. Если ни одно из числ a 1, a 2,..a n не является корнем уравнения, то уравнение решений не имеет Проверим являются ли эти числа корнями уравнения. Действительно, -1 – корень уравнения. При подстановке x=1 в уравнение получаем ложное равенство, что свидетельствует о том что 1 не является конем уравнения, на рисунке все это хорошо видно.

18 Самостоятельная работа Вариант I. 1. Вариант II

19 Подведение итога урока Повторили основные способы решения тригонометрических уравнений. Все учащиеся приняли активное участие в ходе урока, показали глубокие знания в применении тригонометрических формул. Правильно осуществляли анализ полученных решений и отбор корней. Чтобы иметь хорошие знания,надо постоянно вести поиск нового. Неизвестного, используя дополнительную литературу и консультации учителя. ЗАДАНИЕ НА ДОМ: Индивидуальные карточки с дифференцированными заданиями. Творческое задание: нестандартные приемы решения уравнений.

20 Пример карточки