Параллелограмм. Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у кото- рого противоположные стороны попарно парал- лельны В начало Вперед. - презентация

1 Параллелограмм

2 Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны В начало Вперед

3 Определение Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны В начало Вперед Назад

4 Определение AB || DCAD || BC В начало Вперед Назад

5 Определение Параллельные стороны параллелограмма называются основаниями AB и DC AD и BC В начало Вперед Назад

6 Определение Расстояние между основаниями называют высотой параллелограмма В начало Вперед Назад

7 Определение Расстояние между АВ и DC В начало Назад Вперед

8 Определение Расстояние между AD и BC В начало Назад

9 Признаки В начало Вперед

10 Признаки Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырех- угольник - параллелограмм В начало Вперед Назад 1)

11 Признаки AB = DC AB || DC или В начало Вперед Назад 1)

12 Признаки AD = BC AD || BC В начало Назад Вперед 1)

13 Признаки Пусть AB = DC, AB || DC В начало Назад Вперед 1)

14 Признаки Доказать, что ABCD - параллелограмм В начало Назад Вперед 1)

15 Признаки Доказательство: В начало Назад Вперед 1)

16 Признаки Проведем диагональ DB Докажем равенство треугольников ADB и BCD В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

17 Признаки AB = DC по условию DB – общая сторона <1 = <2 – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC секущей DB В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

18 Признаки ADB = BCD по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

19 Признаки Из равенства треугольников следует, что <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC секущей DB В начало Назад Вперед 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

20 Признаки Значит, AD || BC В начало Назад 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм Вперед

21 Признаки Следовательно, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC; AD и BC параллельны. => ABCD – параллелограмм по определению В начало Назад 1) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

22 Признаки Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 2)

23 Признаки AB = DC AD = BC В начало Вперед Назад 2)

24 Признаки Пусть AB = DC; AD = BC В начало Вперед Назад 2)

25 Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 2)

26 Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 2)

27 Признаки Проведем диагональ DB Докажем равенство треугольников ADB и BCD В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

28 Признаки AB = DC по условию AD = BC по условию DB – общая сторона В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

29 Признаки ADB = BCD по трем сторонам В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

30 Признаки Значит, <1 = <2, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и DC и секущей DB В начало Назад Вперед 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

31 Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 2) Дано: AB = DC AB || DC Доказать, что ABCD - параллелограмм

32 Признаки Диагональ параллелограмма делит его пополам В начало Вперед 3)

33 Признаки DB – диагональ В начало Вперед Назад 3)

34 Признаки Пусть AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)

35 Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 3)

36 Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 3)

37 Признаки Докажем равенство треугольников AOD и COB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

38 Признаки AO = OC по условию DO = OB по условию <1 = <2 - вертикальные В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

39 Признаки AOD = COB по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

40 Признаки Значит, <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей DB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

41 Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

42 Признаки Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 3)

43 Признаки AC и DB – диагонали AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)

44 Признаки Пусть AO = OC; DO = OB В начало Вперед Назад 3)

45 Признаки В начало Вперед Назад Доказать, что ABCD - параллелограмм 3)

46 Признаки В начало Вперед Назад Доказательство: 3)

47 Признаки Докажем равенство треугольников AOD и COB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

48 Признаки AO = OC по условию DO = OB по условию <1 = <2 - вертикальные В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

49 Признаки AOD = COB по двум сторонам и углу между ними В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

50 Признаки Значит, <3 = <4, а они являются внутренними накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей DB В начало Назад Вперед 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

51 Признаки Значит, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны AB и DC параллельны и равны, значит ABCD – параллелограмм по первому признаку В начало Назад 3) Дано: AО = ОC DO = OB Доказать, что ABCD - параллелограмм

52 Признаки Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм В начало Вперед 4)4)

53 Признаки

54 Признаки Докажем, что ABCD - параллелограмм В начало Вперед Назад 4)4)

55 Признаки Дано:

56 Признаки Дано:

57 Признаки Сумма всех углов четырехугольника равна 2(x+y) Т.к. сумма всех углов четырехугольника равна 360 о, то составим уравнение В начало Назад Вперед 4)4) Дано:

58 Признаки 360 = 2 (x + y) 180 = x + y В начало Назад Вперед 4)4) Дано:

59 Признаки Значит,

60 Признаки AB || DC В начало Назад Вперед 4)4) Дано:

61 Признаки AD || BC В начало Назад Вперед 4)4) Дано:

62 Признаки AB || DC и AD || BC, значит ABCD – параллелограмм по определению. В начало Назад Дано:

63 Свойства В начало

64 Свойства

65 В начало Свойства

66 В начало Вперед В параллелограмме противоположные углы равны и противоположные стороны равны 1)

67 Свойства В начало Вперед Назад AB || CD; AD || BC 1)

68 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AB = CD; AD = BC;

69 Свойства Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC;

70 Свойства <1 = <2; <3 = <4 – внутренние накрест лежащие углы; AC - общая В начало Назад Вперед 1) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC;

71 Свойства ADC = CBA по стороне и двум углам => В начало Назад Вперед 1) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AB = CD; AD = BC;

72 Свойства Значит AB = CD; AD = BC;

73 Свойства В начало Вперед Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам 2)

74 Свойства В начало Вперед Назад AB || CD; AD || BC 2)

75 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AO = OC; DO = BO 2)

76 Свойства Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO AD = BC – противоположные стороны параллелограмма В начало Назад Вперед 2)

77 Свойства <1 = <3; <2 = <4 – внутренние накрест лежащие углы В начало Назад Вперед 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO

78 Свойства AOD = COB по стороне и двум углам => В начало Назад Вперед 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO

79 Свойства Значит AO = OC; DO = BO В начало Назад 2) Дано: AB || CD; AD || BC Доказать, что AO = OC; DO = BO

80 Свойства В начало Вперед Диагональ делит параллелограмм пополам 3)

81 Свойства В начало Вперед Назад DB - диагональ 3)

82 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что ADB = BCD 3)

83 Свойства <3 = <4 – внутренние накрест лежащие углы при AB || DC и секущей DВ В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD

84 Свойства <1 = <2 – внутренние накрест лежащие углы при AD || BC и секущей DВ В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD

85 Свойства DB – общая сторона В начало Назад Вперед 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD

86 Свойства ADB = BCD по стороне и двум углам В начало Назад 3) Дано: AB || CD; AD || BC; DВ - диагональ Доказать, что ADB = BCD

87 Свойства В начало Вперед В параллелограмме биссектрисы противоположных углов параллельны 4)4)

88 Свойства В начало Вперед Назад AE и CF - биссектрисы 4)4)

89 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что AE || FC 4)4)

90 Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC <3 = <5 – внутренние накрест лежащие углы В начало Назад Вперед 4)4)

91 Свойства <1 = <2 = <3 = <4 = <5, т.к. AE и CF - биссектрисы В начало Назад Вперед 4)4) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC

92 Свойства <2 и <5 – соответственные при AE и FC => AE || FC В начало Назад Вперед 4)4) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC

93 Свойства AE || FC, что и требовалось доказать В начало Назад 3) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и CF - биссектрисы Доказать, что AE || FC

94 Свойства В начало Вперед В параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны 5)5)

95 Свойства В начало Вперед Назад AE и DF - биссектрисы 5)5)

96 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что

97 Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что В начало Назад Вперед 5)5)

98 Свойства => ADF – равнобедренный треугольник с основанием DF В начало Назад Вперед 5)5) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что

99 Свойства AO – биссектриса, высота и медиана в равнобедренном треугольнике => В начало Назад Вперед 5)5) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и DF - биссектрисы Доказать, что

100 Свойства =>

101 Свойства В начало Вперед Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма 6)

102 Свойства В начало Вперед Назад AE и АF - высоты 6)

103 Свойства В начало Вперед Назад Доказать, что <1 = <2 6)

104 Свойства Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2 Пусть

105 Свойства Т.к. сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма = тогда <2 + <2 = 180 о – α. В начало Назад Вперед 6) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2

106 Свойства Значит <1 = <2, что и требовалось доказать. В начало Назад 6) Дано: AB || CD; AD || BC; AE и AF - высоты Доказать, что <1 = <2

107 Теорема Вариньона В начало Вперед Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма

108 Теорема Вариньона В начало Вперед Назад AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA

109 В начало Вперед Назад Теорема Вариньона Доказать, что MENF - параллелограмм

110 Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм Проведем диагональ DB В начало Назад Вперед

111 Теорема Вариньона Рассмотрим треугольник ADB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

112 Теорема Вариньона Т.к АМ = MD,а AE = BE то ME средняя линия треугольника ADB => ME || DB, МЕ = 0,5 DB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

113 Теорема Вариньона Рассмотрим треугольник BCD В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, MENF - параллелограмм

114 Теорема Вариньона Т.к BF = FC,а DN = NC, то FN средняя линия треугольника BDC => NF || DB, NF = 0,5 DB В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

115 Теорема Вариньона ME || NF т.к. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

116 Теорема Вариньона ME = 0,5 DB и FN = 0,5 DB, значит ME = NF. В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

117 Теорема Вариньона ME = NF и ME || NF В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм

118 Теорема Вариньона Значит MENF - параллелограмм В начало Назад Вперед Дано: AM = DM; DN = NC; CF = FB; BE = EA Доказать, что MENF - параллелограмм