Геометрическая алгебра и понятие бесконечности Подготовил: студент 16 К группы Щербаков Денис Преподаватель: Горячева А.О. 2011 – 2012 уч. г. ОГОУ СПО. - презентация

1 Геометрическая алгебра и понятие бесконечности Подготовил: студент 16К группы Щербаков Денис Преподаватель: Горячева А.О – 2012 уч. г. ОГОУ СПО «БИТ»

2 Математика в древности В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.).

3 Греки считали: «Числа правят миром» или «Природа разговаривает с нами на языке математики».

4 Вавилоняне рассматривали, для наглядности, неизвестные числа как длину линии или площадь фигуры, но последние всё же всегда оставались числами.рассматривали, для наглядности, неизвестные числа как длину линии или площадь фигуры, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: площадь складывали со стороной, от объема отнимали площадь Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: площадь складывали со стороной, от объема отнимали площадь

5 Вавилоняне при решении уравнений с двумя неизвестными, одно неизвестное называли длиной, другое -шириной.при решении уравнений с двумя неизвестными, одно неизвестное называли длиной, другое -шириной. произведение неизвестных называли площадью.произведение неизвестных называли площадью. в задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина -глубина, а произведение трех неизвестных именовали объемом.в задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина -глубина, а произведение трех неизвестных именовали объемом.

6 Геометрическая алгебра В Древней Греции пифагорейцы открыли несоизмеримые величины, чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры. Чертежи стали основным элементом алгебры. Результаты такого подхода нашли отражение во второй книге Начал Евклид. Новое исчисление получило впоследствии название геометрической алгебры. Евклид

7 Геометрическая алгебра В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке.В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок. В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников.В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников.

8 Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой.Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой. Геометрическая алгебра ab+ a b

9 Вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку.Вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку. Геометрическая алгебра a - b a b

10 Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках.Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках. Геометрическая алгебра a * b a b

11 Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же приложения площадей. Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же приложения площадей. Геометрическая алгебра

12 Найти ab : с

13 Доказательство распределительного (дистрибутивного) закона умножения ab = (a 1 +a 2 +…+a n )b = a 1 b+a 2 b+…a n b b anan a1a1 a …

14 Доказательство тождества (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 a a b b a2a2 ab b2b2

15 Задачи о «приложении площадей» 1)преобразовать данный прямоугольник в квадрат, т.е. решить уравнение x2=ab (параболическая задача); 2)приложить к данному отрезку а прямоугольник заданной площади S так, чтобы «недостаток» был квадратом: x(a-x)=S (эллиптическая задача); 3)приложить к данному отрезку а прямоугольник заданной площади S так, чтобы «избыток» был квадратом: x(a+x)=S (гиперболическая задача);

16 С помощью циркуля и линейки можно решать задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, имеющим действительный положительный корень.С помощью циркуля и линейки можно решать задачи, эквивалентные квадратным уравнениям, имеющим действительный положительный корень. Задачи о «приложении площадей»

17 Очень скоро появились и другие задачи: об удвоении куба,об удвоении куба, о трисекции угла,о трисекции угла, о квадратуре круга.о квадратуре круга. Задачи о «приложении площадей» SS V 2V

18

19 Зенон Элейский Самые известные апории Зенона: «Дихотомия» «Ахиллес и черепаха» «Стрела» «Стадион»

20 Апории Зенона Дихотомия (рассечение пополам). Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, поскольку сначала оно должно дойти до середины пути, потом – до середины остатка и так далее. Значит, прежде чем дойти до конца, оно должно «отсчитать» бесконечное число середин, а следовательно, до конца дойти ему не удастся.Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, поскольку сначала оно должно дойти до середины пути, потом – до середины остатка и так далее. Значит, прежде чем дойти до конца, оно должно «отсчитать» бесконечное число середин, а следовательно, до конца дойти ему не удастся.

21 Апории Зенона Ахиллес и черепаха. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если даст ей хотя бы маленькую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы, черепаха уползет на другое расстояние, и пока Ахиллес добежит до того места, она уползет еще дальше, и так до бесконечности.Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если даст ей хотя бы маленькую фору. Ведь пока он пробежит расстояние форы, черепаха уползет на другое расстояние, и пока Ахиллес добежит до того места, она уползет еще дальше, и так до бесконечности.

22 Спор Зенона и Диогена Движенья нет, сказал мудрец брадатый. Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить; Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей Другой пример на память мне приводит: Ведь каждый день пред нами солнце ходит, Однако ж прав упрямый Галилей. А.С. Пушкин Своим апориям Зенон придал ярко выраженный физический смысл: он направил их против возможности движения. Но ведь движе­ние тел происходит ежедневно на наших глазах! В чём же дело?

23 Понятие бесконечности в древней математике В Древней Греции развитие математики протекало в сотрудничестве с философией. Идея бесконечности возникла в связи с представлениями о Вселенной. В сочинении «О природе» Анаксагор (около 500 – 428 гг. до н. э.), в котором он вводит понятие бесконечности, говорит так: «Среди малых величин не существует наименьшей, но уменьшение идет непрерывно. Всегда имеется нечто большее, чем то, что большее». Анаксагор

24 Анаксагор (V в. до н. э.) В сочинении «О природе» провозгласил, что «в малом не существует наименьшего, но всегда есть ещё меньшее». В результате деления отрезка всегда будут получаться отрезки, которые по-прежнему остаются делимыми величинами, и таким путём мы никогда не дойдём до неделимых частиц. Это означает, что отрезок не состоит из точек, а есть «геомет­рическое место» точек.

25