Франсуа Виет Франсуа Виет Выполнила ученица 7«Б» класса Выполнила ученица 7«Б» класса Гимназии 1576 Гимназии 1576 Хан Елена Хан Елена. - презентация

1 Франсуа Виет Франсуа Виет Выполнила ученица 7«Б» класса Выполнила ученица 7«Б» класса Гимназии 1576 Гимназии 1576 Хан Елена Хан Елена

2 Коренные улучшения в алгебраическую символику ввёл Франсуа Виет, принадлежащий к числу самых замечательных математиков рассматриваемой эпохи. Виет ( ), уроженец Фонтене-ле Конт во французской провинции Пуату, юрист по образованию, с 19 лет занялся адвокатской практикой в родном городе.

3 Из многочисленных математических сочинений Виета только часть была опубликована при его жизни, многие увидели свет посмертно, а некоторые остались в рукописях. В издании некоторых трудов участвовали и ученики Виета. Общие идеи и основные принципы новой алгебры Виет изложил во «Введении в аналитическое искусство»,

4 которое должно было составить начало общего всеобъемлющего алгебраического тракта. Целью Виета является преобразование прежней алгебры в мощное математическое исчисление. «Искусство, которое я излагаю, - писал он, - ново, или по крайней мере на столько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счёл нужным придать ему

5 совершенно новый вид». При этом новая алгебра делится на 2 части – одну, имеющую дело с с общими величинами, и другую, опирающуюся на первую и имеющую дело с числами; слабым пунктом древних аналистов было как раз употребление только конкретных чисел, между тем, как новое аналитическое искусство черпает силу именно в

6 рассмотрении общих величин. Общую алгебру Виет назвал видовой логистикой. Предметом видовой логистики является система математических объектов, частью геометрических, частью псевдогеометрических, связанных между собой отношениями, аналогичными арифметическим. Эти объекты образуют шкалу, лестницу величин и суть сторона или корень, квадрат, куб и

7 ещё бесконечное множество таких скаляров, принадлежащих к различным реальным и фиктивным размерностям – длине или ширине, площади объёму и т. д. Сложение, вычитание и приравнивание скаляров подчинены. Как и в древней математике, «закону однородности». Когда величины выражены числами,

8 они и отношения между ними образуют предмет числовой логистики. Между обеими частями алгебры существует тесная связь, и многие управляющими ими законы находятся в прямом соответствии. Так, умножению чисел соответствует «проведение» одного скаляра к другому, именно образование нового скаляра, размерность которого равна сумме размерностей данных величин;

9 аналогично делению соответствует приложение скаляров. Благодаря такому соответствию результаты видовой логистики оказывается возможным применять и к задачам геометрии и к числовой логистике. Но эти 2 алгебры отнюдь не тождественны, и, в частности, система скаляров не обладает свойствами ни поля, ни кольца.

10 Видовой логистике Виет сообщил требуемую общность, создав символику, в которой впервые появились знаки не только неизвестных, но и переменных данных величин. В качестве знаков скаляров он принял прописные буквы алфавита, гласные для известных, согласные для неизвестных.

11 Необходимы, писал Виет, наглядные и всегда одинаковые символы, позволяющие отличать данные величины от неизвестных, например, тем, что «искомые величины будут обозначены буквой А или другой гласной E, I, O, U, Y, а данные – буквами B, D, G или другими согласными». Это нововведение и особенно применение буквенных

12 коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм. Между прочим, само слово «коэффициент» восходит к Виету, который употреблял его, правда, в несколько специальном смысле, в «Первых замечаниях к видовой логистике»,

13 где вслед за «Введением» приводятся различные преобразования алгебраических формул. Рассматривая выражения типа (A+B) 2 +D(A+B) Виет называл величину D, участвующую вместе с А+В в образовании прямоугольника D(A+B), содействующей длиной.

14 Из знаков действий Виет употреблял + и -, произведение выражал словом in(в смысле «на»), в случае приложения ставил разделительную дробную черту; кроме того, черта над многочленом играла у него роль скобок. Степени он обозначал, приставляя к соответствующей букве слова quadratum, qubus и т.д. или же их сокращения.

15 Так, в «Дополнении к геометрии» наше кубическое уравнение х 3 +3r 2 x=r 3 записано в виде A cubus minus Z quadrato ter in A aequatur Z cubo Своей символикой Виет пользовался регулярно; очень часто решение задачи в буквенном виде он сопровождал числовыми примерами.

16 Его символику применяли и некоторые другие математики, среди них знаменитый П. Ферма, вплоть до середины ХII в. Для нас очевидны недостатки обозначений Виета. Неудобным было словесное обозначение степеней имеющее первостепенное значение в символической алгебре; к тому же Виет последовательно прилагал его только к неизвестным величинам,

17 между тем как необходимую размерность буквенных коэффициентов устанавливал, приписывая рядом с буквой слова planum (плоскость) и solidum (тело) и их комбинации или их сокращения. Вот так выглядит, например, уравнение x 3 +3B 2 x=2z 3 в сочинении «Об анализе и усовершенствовании уравнений» A cubus + B plano 3 in A aequari Z solido 2

18 Громоздкость такой символики, обусловленная в частности, требованием однородности, вскоре стела очевидной. Трудность, связанная с обозначением степеней, непригодным для распространения на произвольные показатели, выявилась несколько позднее. Своё символическое исчисление Виет применил к обширному кругу задач алгебры.

19 Прежде всего следует отметить вслед за разработкой общего аппарата алгебраических преобразований весьма полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней. Мы приведём лишь 2 результата, относящиеся к этому кругу вопросов. Во-первых, в своём «Усовершенствовании уравнений» Виет очень изящно свёл кубическое уравнение вида

20 х 3 +3ax=2b c помощью преобразования у 2 +ху=а к уравнению у 6 +2ву 3 =а 3, квадратному относительно у 3. Во-вторых, в «Дополнении геометрии» он показал, что решение любого кубического уравнения приводится либо к вставке двух средних пропорциональных, либо к

21 трисекции угла, и с помощью тригонометрических средств дал решение неприводимого случая. Если записать уравнение х 3 -рх=q в виде x 3 -3r 2 x=ar 2, причём p=3r 2 и q=ar 2, то неприводимый случай имеет место, когда r меньше а/2.