Пирамида Правильная пирамида. содержание Введение Феномен пирамидных конструкций Пирамида в геометрии Теоремы Задачи Используемые источники. - презентация

1 Пирамида Правильная пирамида

2 содержание Введение Феномен пирамидных конструкций Пирамида в геометрии Теоремы Задачи Используемые источники

3 Введение. Представьте себе, что в некоторой плоскости (будем считать ее горизонтальной) расположен некоторый многоугольник, обозначаемый буквой М, а над этой плоскостью взята некоторая точка А. Рассмотрим отрезок, одним концом которого является некоторая точка фигуры М, а вторым точка А. Всевозможные такие отрезки, вместе взятые, образуют многогранник, называемый пирамидой с основанием М и вершиной А.

4 Введение. Поверхность пирамиды кроме основания содержит еще ряд боковых граней. Каждая из них представляет собой треугольник, основанием которого является од- на из сторон многоугольника М, а вершиной т. А. Таким образом, пирамида содержит одну грань ос- нование, которое может быть многоугольником с лю- бым числом сторон, а все остальные грани (называе - мые боковыми) представляют собой треугольники, имеющие основанием одну общую сторону, причем все боковые грани имеют одну общую вершину. Это описание пирамиды можно принять за её определение. Если основанием пирамиды является правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину

5 Введение. пирамиды с центром основания, перпендикулярен плоскости основания, то пирамида называется пра- вильной. Четырехскатная крыша дома имеет форму четырехугольной правильной пирамиды.

6 Феномен пирамидных конструкций. Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антони Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в течение тридцатых го- дов, он обнаружил, что тела мелких животных, случай- но попавших в царскую комнату, мумифицировались. Вернувшись во Францию, он построил деревянную модель пирамиды с длиной стороны основания около одного метра. Сориентировав ее по сторонам света и поместив в место расположения царской комнаты, т.е. приблизительно на 1/3 расстояния от основания до вершины тело мертвой кошки, он через несколько дней обнаружил ее мумифицировавшейся. Такого же эффекта он достигал и с другими органическими

7 Феномен пирамидных конструкций Пирамида Микерина

8 Феномен пирамидных конструкций. веществами, которые, мумифицируясь, не портились и не гнили. Исследования А. Бови не вызывали никакого интереса до пятидесятых годов, пока ими не заинтере- совался чешский инженер Карел Дрбан, который не только воспроизвел результаты опытов А.Бови, но и обнаружил связь между формой пространства пирами- ды и биологическими и физико-химическими процес- сами, происходящими в этом пространстве. Оказалось, что изменяя размеры пирамиды можно воздействовать на происходящие процессы, ускоряя или замедляя их. Весьма знаменитым открытие К.Дрбана оказалось то, что энергия пирамиды, сориентированной сторонами к геомагнитным полюсам, затачивает помещенное в нее бритвенное лезвие, при условии его расположения на

9 Феномен пирамидных конструкций. Пирамида Хеопса

10 Феномен пирамидных конструкций. уровне высоты от основания пирамиды под прямым углом к геомагнитному меридиану. Изобретение было запатентовано и выпускался пласт- массовый прибор "Бритвенный затачиватель "Пирами- да Хеопса"", позволявший многократно использовать одно и то же бритвенное лезвие. Начиная с пятидеся- тых годов, патентов становится все больше и больше. Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет де- лать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживле- нию, тонизирует организм, уменьшает воспалитель-

11 Феномен пирамидных конструкций. ную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучше- ния пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет. Если сидеть под пирами- дой, то улучшается процесс медитации, уменьшается интенсивность головной и зубной боли, ускоряется за- живление ран и язв. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутрен- нее пространство помещений. Исследованиями, прове- денными в шестидесятые годы известным каббалистом и египтологом Энелем (его настоящее имя Михаил Владимирович Сарятин, гг.), было по- казано, что излучение пирамиды имеет сложную

12 Феномен пирамидных конструкций. структуру и особые свойства. Им было выде- лено несколько лучей: луч, названный Пи, под влиянием которого про- исходит разрушение опухолевых клеток; луч, вызывающий мумифи- кацию (высушивание) и уничтожение микроор- ганизмов и таинствен- ный луч Омега, под вли- Пирамида Хеопса и Музей Солнечной Ладьи

13 Феномен пирамидных конструкций. янием которого продукты длительное время не портятся и который оказывает благотворное влияние на организм человека. Энелем впервые было высказано предположение о том, что воздействию именно этого концентрированного луча подвергались посвящаемые во время инициации в саркофаге царской комнаты. Последующими исследованиями было показано, что благодаря широкому спектру частот, часть которых идентична частотам колебаний здоровых клеточных структур биологических объектов, излучением пирамиды оказывается гармонизирующее, настраи- вающее на оптимальное функционирование воздейст- вие. Французскими радиэстезистами Л. Шоммери и

14 Феномен пирамидных конструкций. А. де Белизалом(1976) впервые было высказано пред- положение о роли Великой Пирамиды как передающей станции. Они показали, что благодаря огромной массе, излучение формы пирамиды, достигало такой силы, что с очень большого расстояния с помощью модели пирамиды можно было определить это излучение, и без компаса точно сориентировать по ней маршрут корабля в море или каравана в пустыне. Особенно ин- триговала ученых существующая в конструкции Ве- ликой пирамиды особенность - она не была закончена до вершины. В действительности ее вершина образо- вана не четырьмя гранями, а платформой с размерами 6х6 метров. Проведенные Д.Шомери и А. де Белиза- лом радиэстезические исследования позволили уста-

15 Феномен пирамидных конструкций. Египетские пирамиды Гизы Сфинкс

16 Феномен пирамидных конструкций. новить, что такой конструкцией формировалась лож- ная вибрационная призма, которая создавала излуче- ние, вертикально опускающиеся к основанию пирами- ды. Комната фараона, находящаяся вне области рас- пространения этого пучка, избегала этого влияния, но оно должно было захватывать до сих пор не найден- ную подземную комнату, размещенную значительно ниже уровня земли. Полученные французскими иссле- дователями данные, а также установленное Энелем (1958) предназначение загадочного сооружения из че- тырех элементов, создающего излучение, направлен- ное на саркофаг царской комнаты, позволяет утвер- ждать, что Великая Пирамида использовалась как приемо-передающее многофункциональное устройство

17 Феномен пирамидных конструкций Египетские пирамиды

18 Феномен пирамидных конструкций. с огромным диапазоном действия, внутри которого проявлялись иные законы, чем в окружающем ее мире. Проведенные в 1969 г. компьютерные исследования Л.Альвареса, установившего в пирамиде Хефрена счетчики космического излучения, вызвали в научном мире огромный резонанс геометрия пирамиды непо- нятным образом нарушала работу приборов, вынудив ученых прекратить их проведение. Эта попытка, как и многие другие, выявила еще одну особенность изучения пирамид - с каждым новым исследованием возникает больше новых вопросов, чем ответов.

19 Пирамида в геометрии. Пирамида - (от греч. pyramis, род. п. pyramidos), мно- гогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вер- шину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырехугольные и т. д. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды. Высотой пирамиды называется перпенди- куляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

20 Пирамида в геометрии. SABCD – четырехугольная пирамида; ABCD – основание пира- миды; SAB; SBC; SDC; SDA – бо- ковые грани пирамиды; SA; SB; SC; SD – боковые ребра пирамиды; SO - высота пирамиды; SR и ST – апофемы.

21 Пирамида в геометрии. Пирамида правильная – пирамида, у которой в основа- нии лежит правильный многоугольник, а высота, опу- щенная из вершины пирамиды на плоскость основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром основания. Свойства правильной пирамиды: 1. Всё боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой. 2. Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными треугольниками. 3. Площадь боковой поверхности правильной пирами- ды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофе- мой.

22 Пирамида в геометрии. PE - апофема. Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V=1/3Sh S h P E O h

23 Пирамида в геометрии. Пирамидой, вписанной в конус, является такая пирамида, основание ко- торой есть многоуголь- ник, вписанный в окруж- ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боко- вые ребра такой пирами- ды являются образую- щими конуса. SABCD-пирамида, вписанная в конус. An A1A1 A2A2 O S

24 Пирамида в геометрии. Пирамидой, описанной около конуса, является такая пирамида, основа- ние которой есть много- угольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плос- кости боковых граней такой пирамиды являют- ся касательными плос- костями конуса. SKNMP-пирамида, описанная около конуса. O B B1B1 B2B2 BnBn P

25 Пирамида в геометрии. Пирамида усечённая - пирамида, которая получается следующим способом: берется произвольная пирами- да, и через точку бокового ребра проводится плос- кость, параллельная основанию пирамиды. Данная плоскость разделила пирамиду на две фигуры: подоб- ную исходной пирамиду и многогранник, который называется усеченной пирамидой. Основаниями усе- ченной пирамиды служат подобные многоугольники. Если усеченная пирамида получается из правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пи- рамиды являются равными равнобедренными трапеци- ями. Высота боковой грани называется апофемой пра- вильной усеченной пирамиды.

26 Пирамида в геометрии. Перпендикуляр, опущенный из точки верхнего основа- ния на нижнее, называется высотой усеченной пирами- ды. Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей оснований и боковых граней.

27 Пирамида в геометрии. Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле: V=1/3h(S+S 1 +SS 1 ). h – высота усеченной пирамиды, S и S 1 - площади оснований усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется по формуле: S б.п. =1/2(P 1 +P 2 )l. P 1 и P 2 - периметры оснований усечённой правильной пирамиды, l - апофема.

28 Теоремы 1. Площадь боковой поверхности правильной пирами- ды равна половине произведения периметра основания на апофему. Доказательство: Боковые грани правильной пирамиды – равные равно- бедренные треугольники, основания которых – сторо- ны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сум- ме произведений сторон основания на половину апо- фемы d. Вынося множитель 1/2d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр. Теорема доказана.

29 Теоремы 2. Площадь боковой поверхности правильной усечен- ной пирамиды равна произведению полусуммы пери- метров оснований на апофему.

30 Задача 1 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади се- чения, проведенного через вершину пирамиды и боль- шую диагональ основания.

31 Задача 1 Решение: АВ=а, АД=2а, S гр = ½·АВּМК, SMAD= = ½·AD·MO. По условию задачи: ½· a · MK=½·2a · MO, откуда MK=2MO, и, => => MKO=30º. ИзAOK имеем: OK=a3/2. Из MOK получаем: MK = OK/cos30º= a3/2÷ ÷ 3/2=a. Таким обра- зом, S=6·½·a·a=3a². Ответ: 3а. ABK C F DE M O a

32 Задача 2 Стороны оснований правильной треугольной усечен- ной пирамиды равны 4 дм и 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды. B C A A K C A M O OE F 2 4 B

33 Решение. Пусть O и O 1 – центры оснований усечен- ной пирамиды. 1)Из ABC получаем: AB=R3, где R=AO, откуда AO = 4/3, OK=AO/2=2/3. 2)Из A 1 B 1 C 1 находим: A 1 O =2/3, O 1 M=1/3. 3)EK=OK-OE, OE=O 1 M, отсюда EK=2/3-1/3=1/3. 4)Из AA 1 F имеем: AF=AO-FO, FO=A O. AF=4/ /3. A 1 F =AA² 1 -AF² = 4-4/3 = 8/3. A F=26/3. 5)Из MEK получаем: MK²=ME²+ EK²=8/3+1/3=9/3=3. MK=3. Ответ: 26/3 дм, 3 дм. Задача 2

34 Задача 3 Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 9, боковые грани наклонены к плоскости основа- ния под углом 30º. Найдите площадь боковой поверх- ности пирамиды.

35 Задача 3 Дано: SABC-правильная треугольная пирамида, BE=9-высота основания,SEB=30º. Найти: S б.п. А С Е В S O

36 Задача 3 Решение: S б.п. =1/2·P осн. ·SE, где SE-апофема. Так как BE=9 => OE=1/3BE=1/3·9=3. ABC – равносторонний, AB=BC=AC; OE = r =AB/2tg60º, 3=AB/23, AB=63; P осн. =63·3=183; SE=OE/cos30º=6/3=23; S б.п. =1/2·183·23=54. Ответ : 54.

37 Задача 4 Дана сфера радиуса 8. Cечением этой сферы плос- костью является окружность с диаметром AB. Плос- кость сечения удалена от центра сферы на расстояние l. Точка D выбрана на сфере, а точка C – на окружнос- ти сечения так, что объем пирамиды ABCD наиболь- ший. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C перпендикулярно ребру BD.

38 Задача 4 D CA B O O1O1 M

39 Решение: 1) Пусть O – центр сферы, R – ее радиус, r – радиус сечения сферы и O 1 – центр сечения. Точки A, B, C, D лежат на сфере. Поэтому OA =OB = OC = OD = R = 8. Следовательно, AOB – равнобедренный и его медиа- на OO 1 является высотой, то есть OO 1 AB. А по- скольку это верно для любого диаметра сечения, то OO 1 ABC. Отсюда OO 1 =1. Из OO 1 A по теореме Пи- фагора имеем R² = r² + OO 1 ². Отсюда r = 37. 2) Пусть h – высота ABC, проведенная к стороне AB. Поскольку точка С лежит на окружности радиуса r и

40 Задача 4 AB – ее диаметр, то ACB=90º и h r, причем h = r, только если CO 1 AB, то есть ABC– прямоугольный и равнобедренный. Пусть H – высота пирамиды ABCD, равная расстоя - нию от точки D до плоскости ABC. Тогда H R+OO 1 = = 9, причем H = 9, только если DO 1 ABC. Отсюда для объема пирамиды имеем V ABCD =1/3S ABC ·H=1/3 · 1/2· AB · h · H 1/6 · 2r · r·9 = 3r². При этом V ABCD = 3r², только если DO 1 ABC, точка O лежит между точка- ми D и O 1 и CO 1 AB. Таким образом, объем пирами- ды ABCD наибольший, только если ее основание ABC - прямоугольный равнобедренный треугольник,

41 Задача 4 Отрезок DO 1 – ее высота и центр О сферы лежит меж- ду D и O 1. 3) Так как BO 1 O 1 C, то по теореме о трех перпенди- кулярах BD O 1 C. Пусть O 1 M – высота BO 1 D. Тогда плоскость CO 1 M BD. Тое есть CO 1 M – данное сече- ние. 4) Так как DO 1 O 1 C и AB O 1 C, то O 1 C O 1 M, т.е.CO 1 M – прямоугольный. В прямоугольном DBO 1 имеем DB = O 1 B² +O 1 D² = 12 и O 1 M = O 1 B · O 1 D/DB= =97/4. Площадь CO 1 M найдем по формуле: S=1/2·O 1 M·O 1 C=23·5/8. Ответ:23·5/8.

42 Используемые источники. 1. Весь Египет (Джованна Маджи, Паоло Джамбоне) 2. Математика. Справочник школьника (Г. Якушева) 3. Геометрия класс (Л. С. Атасян, В. Ф. Бутузов) 4. Что такое. Кто такой. (А.Г. Алексин, С.П. Алексеев) 5. Геометрия (В.Н. Литвиненко) Сборник задач по Математике (М.И. Сканави)

43 Презентацию выполнила Ученица 11 б класса Пчелкова Анастасия март, 2009г.