ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Подготовил презентацию: Шевляков Станислав, 8а класс. - презентация

1 ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Подготовил презентацию: Шевляков Станислав, 8а класс

2 Первый признак равенства треугольников Доказательство. Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 - такие треугольники, что АС=А 1 С 1, АВ=А 1 В 1 и А= А 1. Совместим треугольник АВС с треугольником А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка A совпала c А 1 и сторона AC пошла по А 1 С 1. Тогда вследствие равенства этих сторон, точка C совместится с С 1, а вследствие равенства углов А и А 1 сторона AB пойдет по А 1 В 1, а вследствие равенства этих сторон точка B совпадет с В 1, поэтому сторона CB совместиться с С 1 В 1 (так как две точки можно соединить только одной прямой). Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны. Теорема. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Второй признак равенства треугольников Доказательство. Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 - такие треугольники, что - такие треугольники, что А= А 1, С= С 1 и АС=А 1 С 1. Совместим треугольник АВС с треугольником А 1 В 1 С 1 так, чтобы точка C совпала c С 1 и сторона АC пошла по А 1 С 1. Тогда вследствие равенства этих сторон, точка А совпадет с А 1, а вследствие равенства углов и, и сторона BС пойдет по В 1 С 1, а сторона AВ – по А 1 В 1. Так как две различные прямые могут пересечься только в одной точке, то вершина В должна совпасть с В 1. Таким образом, треугольники совпадут, то есть будут равны. Теорема. Второй признак равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам). Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соответственно равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

4 Третий признак равенства треугольников Доказательство. Пусть АВС и А 1 В 1 С 1 - такие треугольники, что что АС=А 1 С 1, АВ=А 1 В 1, СВ=С 1 В 1. Совместим треугольник АВС с треугольником А 1 В 1 С 1 так, чтобы сторона CВ совместилась с С 1 В 1 и их вершины А и А 1 лежали бы по разные стороны от основания СВ. Соединим прямой точки В и В1, тогда Получим два равнобедренных треугольника АСА 1 и АВА 1 С общим основанием CB. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны => 1= 2 и 3= 4 => 1+ 4 = 2+ 3 => А= А 1 => АВС= А 1 ВС равны по перовому признаку ( А= А 1, АС=А 1 С, АВ=А 1 В). Теорема. Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5 Верно ли, что если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго? Верно ли, что если две стороны и угол между ними соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны? Верно ли, что если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны? Верно ли, что каждой стороне первого треугольника можно найти сторону, равную ей во втором, равном треугольнике? Верно ли, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны?

6 Задачи KBC = DEC по первому признаку (BC= CE, KC= CD, BCK = DCE как углы, дополняющие угол KCD до 90°). Из равенства треугольников следует, что, BK= DE= 4. Тогда AB= BK+ AK= 5. Ответ: размеры листа 3дм и 5дм. EDC= EFA по второму признаку (AF= CD, F= D= 90°, EAF= ECD). EAF= ECD, т.к. F= D, AEF= CED как вертикальные, а сумма углов треугольника равна 180°. Из равенства треугольников следует, что AE = EC= 5 Отсюда AD= AE+ ED= 5+ 3= 8. Ответ: размеры ковра 4м и 8м.

7 Задача 1. Дано: АВ=АС; АСЕ=АВД. Доказать: АСЕ=АВД Задачи Задача 2. Отрезки МЕ и РК точкой Д делятся пополам. Докажите, что КМД= РЕД. Задача 3. В равнобедренном треугольнике СДЕ с основанием ДЕ проведена биссектриса СК. Найдите СК, если периметр треугольника СДЕ равен 84 см, а периметр треугольника СКЕ равен 56 см. Задача 4. На сторонах угла Д отмечены точки М и К так, что ДМ=ДК. Точка Р лежит внутри угла Д и РК=РМ. Докажите, что луч ДР- биссектриса угла МДК.

8 ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !