Подольская Анастасия Васильевна Школа 316 г. Санкт-Петербург 2005 г. - презентация

1 Подольская Анастасия Васильевна Школа 316 г. Санкт-Петербург 2005 г.

2

3 СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ - любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ пересекает грани многогранника по отрезкам. СЕЧЕНИЕ МНОГОГАННИКА- многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки.

4 тетраэдрапараллелепипеда КАК ПОСТРОИТЬ?

5 ТЕТРАЭДР ТЕТРАЭДР имеет четыре грани, его сечениями могут быть только ТРЕУГОЛЬНИКИТРЕУГОЛЬНИКИ и ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

6 СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА треугольники

7 СЕЧЕНИЯ ТЕТРАЭДРА четырехугольники

8 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД имеет шесть граней, его сечениями могут быть ТРЕУГОЛЬНИКИ,ТРЕУГОЛЬНИКИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ,ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ПЯТИУГОЛЬНИКИ иПЯТИУГОЛЬНИКИ ШЕСТИУГОЛЬНИКИ.ШЕСТИУГОЛЬНИКИ

9 СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА треугольники

10 СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА четырехугольники

11 СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА пятиугольники

12 СЕЧЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА шестиугольники

13 Построение сечений P M N ЗАДАНИЕ: Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки

14 ЧТО ДЕЛАТЬ? P M N Вспомним аксиомы стереометрии A B α Если α- плоскость сечения, а точки лежат на грани многогранника, то прямая АВ есть общая прямая для этих плоскостей. Надо провести эту прямую, отрезок этой прямой между ребрами – сторона сечения. Проведем отрезок МР для параллелепипеда.

15 Построим сечение P M N МР – сторона сечения. Ищем общее ребро для грани с отрезком МР и грани с точкой N Продолжим это ребро до пересечения с прямой МР Х – точка пересечения этих прямых, она лежит на двух гранях и в секущейплоскости. Х

16 P M N Точка N лежит в плоскости задней грани и в секущей плоскости, так же как Х, т. е. прямая NХ удовлетворяет нашим условиям Проведем эту прямую Отрезок между ребрами – сторона сечения. Х K Отрезок MK – сторона сечения, лежащая в верхнем основании.

17 Выбираем прямую, лежащую в плоскости сечения и в грани многогранника. Надо двигаться к другим граням. Возможны два способа последующих действий Х P M N K Выбирай: Использовать параллельность плоскостей граней параллелепипеда Использовать предыдущие рассуждения.

18 Противоположные грани параллелепипеда лежат на параллельных плоскостях. Плоскость сечения пересекает эти грани по параллельным прямым. Х P M N K Строим отрезок РЕ, параллельный отрезку KN, в передней грани Строим отрезок NT, параллельный отрезку РM, в боковой грани Е Т

19 Последний этап Осталось соединить точки Е и Т, лежащие в нижнем основании, отрезком. Х P M N K Имеем шестиугольник РЕTNKM, который является искомым сечением параллелепипеда плоскостью MNP Е Т

20 Выбираем прямую MK, лежащую в плоскости верхнего основания, и точку Р, рассматривая ее лежащей в переднейграни. Продолжаем общее ребро этих граней до пересечения с прямой МК Х P M N K Точка Y лежит в плоскости передней грани и в секущей плоскости, так же как Р, т. е. прямая YP удовлетворяет нашим условиям Y Отрезок между ребрами – сторона сечения. E

21 Выбираем прямую PE, лежащую в плоскости переднейграни, и точку N, рассматривая ее лежащейв плоскости боковой грани. Продолжаем общее ребро этих граней до пересечения с прямой PE Х P M N K Точка Z лежит в плоскости передней грани и в секущей плоскости, так же как Р, т. е. прямая ZN удовлетворяет нашим условиям Y Отрезок между ребрами – сторона сечения. E Z T

22 ПОПРОБУЙ СВОИ СИЛЫ В построении сечений В проверке правильности построений В решении задач с использованием сечений ЕСЛИ хочешь, ПОВТОРИ просмотр, или ЗАВЕРШИ.

23 M P N ЗАДАНИЕ: Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки Построение сечений

24 M P N Если (MNP)- плоскость сечения, а точки M и P лежат на грани тетраэдра, то прямая MP есть общая прямая для этих плоскостей, отрезок этой прямой между ребрами– сторона сечения. Проведем его. ЧТО ДЕЛАТЬ? Те же рассуждения проведем для точек M и N, отрезок прямой MN между ребрами – сторона сечения.

25 M P N Выбираем прямую, лежащую в плоскости сечения и в грани многогранника. Надо двигаться к другим граням. Возможны два способа последующих действий Выбирай: Использовать параллельность прямой MN и плоскости нижнего основания тетраэдра Использовать предыдущие рассуждения.

26 M P N Прямая MN параллельна плоскости нижнего основания. Секущая плоскость, проходящая через прямую MN, пересекает основание по прямой, параллельной MN. Точка Р сечения лежит в основании тетраэдра, поэтому искомая прямая проходит через эту точку. Надо построить прямую по данным условиям. Отрезок построенной прямой между ребрами – сторона сечения. Т

27 M P N Выбираем прямую MP, лежащую в плоскости сечения и в левойбоковой грани тетраэдра и точку N, в правой боковой грани. Продолжим общее ребро этих граней до пересечения с прямой MP. Точка Х – точка пересечения этих прямых, лежит в секущейплоскости и в плоскости боковой грани, где лежит N X Отрезок NT прямойNX между ребрами – сторона сечения. T

28 M P N Четырехугольник MNTP - искомое сечения. Т Последний этап Осталось соединить точки N и Т, лежащие в боковой грани, отрезком.

29 M P N Четырехугольник MNTP - искомое сечение. Т Осталось соединить точки P и Т, лежащие в основании тетраэдра, отрезком.

30 Как проверить правильность построенных сечений? Ищите чужие ошибки … Ошибка в том, что нет сторон сечений в гранях.

31 В плоскости основания два отрезка Две скрещивающиеся прямые не могут находиться в плоскости сечения

32 Нарушены свойства параллельности плоскостей и параллельности прямой и плоскости.