По образованию был юристом, но глубоко занимался многими науками, прежде всего астрономией, астрологией и даже криптографией (тайнописью). Всё это заставило. - презентация

1

2

3 По образованию был юристом, но глубоко занимался многими науками, прежде всего астрономией, астрологией и даже криптографией (тайнописью). Всё это заставило Виета обратиться к тригонометрии и алгебре, в которых он сделал немало открытий. Франсуа Виет – французский учёный (1540 – 1603)

4 1591-ый год. Франция. х 2 – 15х + 14 = 0; 9 – 2х 2 – 3х = 0; х 2 + 8х + 7 = 0; 3х 2 – 2х = 4; 6х 2 – 2 = 6х; х 2 = - 9х – 20.

5 ax 2 + bx + c = 0 - oбщий вид квадратного уравнения, где коэффициенты а, b, с- любые действительные числа, причём а=0. x 2 + bx + c = 0 (а=1) - приведённое квадратное уравнение (а=1)

6 1)x 2 – 15x + 14 = 0; 2) 9 – 2x 2 – 3x = 0; 3) x 2 + 8x + 7 = 0; 4) 3x 2 – 2x = 4; 5) 6x 2 – 2 = 6x; 6) x 2 = - 9x – 20.

7 I способ. 1 гр. 2 гр. X 2 – 15x + 14 = 0 9 – 2x 2 – 3x = 0 X 2 + 8x + 7 = 0 3x 2 – 2x = 4 6x = 6x x 2 = - 9x – 20 II способ. 1 гр. 2 гр. 9 – 2x 2 - 3x = 0 x 2 – 15x + 14 = 0 3x 2 – 2x = 4 x 2 + 8x + 7 = 0 6x 2 – 2 = 6x x 2 = - 9x - 20

8 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

9 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6= Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

10 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3= х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

11 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4= х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

12 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6= х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

13 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12= х 2 +5х-6=0

14 Приведённые квадратные уравнения. а=1 Заполните таблицу: Общий вид рqX1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=

15 1.Если ли связь между столбцами таблицы?. 2.Найти связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения. Общий видрqх1х1 х2х2 х 1 + х 2 х 1 х 2 1х 2 +5х+6= Х 2 -4х+3= х 2 +5х+4= х 2 -5х+6= х 2 +х-12= х 2 +5х-6=

16 Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

17 Пусть х 1 и х 2 – корни приведённого квадратного уравнения x 2 + px + q = 0, тогда х 1 + х 2 = - p, x 1 x 2 = q.

18 ax 2 + bx + c =0-oбщий вид квадратного уравнения. x 2 + b/ax + c/a = 0 x 2 + px + q = 0

19 Пусть х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения aх 2 + bx + c = 0, тогда x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = c/a.

20 ax 2 + bx + c =0-oбщий вид квадратного уравн. x 2 + b/ax + c/a = 0 x 2 + px + q = 0 ax 2 + bx + c = 0 Пусть х 1 и х 2 – корни квадратного уравнения aх 2 + bx + c = 0, тогда x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = c/a.

21 Пустьх 1 и х 2 – корни квадратного уравнения aх 2 + bx + c = 0, тогда сумма корней равна - b/a ( x 1 + x 2 = - b/a), а произведение корней равно с/а (x 1 x 2 = c/a).

22 По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе c, в знаменателе a. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда В числителе b в знаменателе a.

23 Дано: х 1 и х 2 – его корни Доказать: х 1 + х 2 = - р х 1 х 2 = q. Доказательство.

24 Дано: а x 2 + bx + c = 0, x 1 и x 2 – корни. Доказать: x 1 + x 2 = - b/а, х 1 х 2 = c/а. Доказательство:

25 1.Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения x 2 + p x + q = 0, х 2 -4 х +3= 0; х 1 + х 2 = - р=4 х 1 х 2 = q =-6 х 1 = х 2 = 2.Сконструировать уравнение по его корням. х 1 = -2, х 2 =5 х 1 + х 2 = -2+5= 3 = - р; р=-3 х 1 х 2 = -2 5=-10=q x 2 + p x + q = 0, х x -10 = 0. 3.Решить у доски три уравнения (D>0,D=0,D

26 Кто же запомнил теорему Виета? Когда можно её применять? D0 Зачем нужна? Упрощает решение квадратных уравнений

27 Для составления квадратного уравнения по заданным корням. ЗАДАЧА: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 8 и – 5. По формулам Виета имеем: -р = 8 + (- 5) и q = 8 (- 5) р = - 3 q = - 40 Уравнение имеет вид:

28

29 Приведенные квадратные уравнения X1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 x 2 – 15x + 14 =0 x 2 + 8x + 7 = 0 X 2 + 9x + 20 = 0

30 Приведенные квадратные уравнения X1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 x 2 – 15x + 14 = x 2 + 8x + 7 = 0 X 2 + 9x + 20 = 0

31 Приведенные квадратные уравнения X1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 x 2 – 15x + 14 = x 2 + 8x + 7 = X 2 + 9x + 20 = 0

32 Приведенные квадратные уравнения X1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 x 2 – 15 x + 14 = x x + 7 = X x + 20 =

33 Приведенные квадратные уравнения X1X1 X2X2 X 1 + X 2 X 1 X 2 x 2 – 15 x + 14 = x x + 7 = X x + 20 =

34 Пустьх 1 и х 2 – корни квадратного уравнения aх 2 + bx + c = 0, тогда сумма корней равна - b/a ( x 1 + x 2 = - b/a), а произведение корней равно с/а (x 1 x 2 = c/a).

35 Дано: а x 2 + bx + c = 0, x 1 и x 2 – корни. Доказать: x 1 + x 2 = - b/а, х 1 х 2 = c/а. Доказательство:

36 Теорема Виета справедлива и в том случае, когда квадратное уравнение имеет один корень(т.е.когда D=0), просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.

37 Заполните таблицу: Общий видрqх1х1 х2х2 1х 2 +5х+6=0 2Х 2 -4х+3=0 3х 2 +5х+4=0 4х 2 -5х+6=0 5х 2 +х-12=0 6х 2 +5х-6=0

38 Найдите связь между корнями и коэффициентами приведённого квадратного уравнения. Общий видрqх1х1 х2х2 1х 2 +5х+6= Х 2 -4х+3= х 2 +5х+4= х 2 -5х+6= х 2 +х-12= х 2 +5х-6=05-6 1

39 Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

40 По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни и дробь уж готова? В числителе c, в знаменателе a. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда В числителе b в знаменателе a.

41 Дано: x 2 + bx + c = 0, x 1 и x 2 – корни. Доказать: x 1 + x 2 = - b, х 1 х 2 = c. Доказательство:

42 Дано: х 1 и х 2 – его корни Доказать: х 1 + х 2 = - р х 1 х 2 = q. Доказательство.

43

44 План исследования. Решите каждое квадратное уравнение известным вам способом. Заполните рабочий лист. Сравните результаты колонок 2 и 5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Сравните результаты колонок 3 и 6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод. Ответьте на вопрос урока. Подготовьте отчет. Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на листах формата А3 выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

45 Родился в 1540 году во Франции в Фонтене-ле-Конт. По профессии адвокат. В свободное время Виет занимается астрономией. Изучив ещё в молодости Коперникову систему мира, заинтересовался астрономией. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занимался ими и вскоре пришёл к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию, над чем и проработал ряд лет. Виет, не прекращая адвокатской деятельности, много лет был советником короля Георга III и Георга IV, постоянно был занят государственной службой. Несмотря, на это, всю жизнь занимался математикой, занимался настойчиво, упорно, сумел добиться выдающихся результатов. Основные свои идеи изложил в труде Введение в аналитическое искусство.. И другие достижения Франсуа Виета.

46 Дано: Доказать: Доказательство

47

48 а) для решения уравнений

49 б) для решения систем уравнений:

50 Для составления квадратного уравнения по заданным корням. ЗАДАЧА: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа 8 и – 5. По формулам Виета имеем: -р = 8 + (- 5) и q = 8 (- 5) р = - 3 q = - 40 Уравнение имеет вид:

51 стр 150 – 151. Теорема Виета для полного квадратного уравнения.

52 х1х1 х2х2 х 1 х 2 х 1 +х 2 уравнение (х-…)(х-…)= , Заполните таблицу

53 1 случай: 2 случай:

54 Нахождение корней приведенного квадратного уравнения с чётным коэффициентом q: х²+px+q=0. Здесь полезно воспользоваться формулой: Формула запоминается надолго, если выучить ее в стихотворной форме:стихотворной форме

55 «Пэ», со знаком взяв обратным, Мы на два его разделим. Корень от него со знаком минус-плюс Мы аккуратненько отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

56 П 24 стр , 963 Написать реферат на одну из тем: «Применение теоремы Виета» «Утверждения, следующие из теоремы Виета» «Корни квадратного уравнения и теорема Виета» «Что нового я узнал, благодаря теореме Виета» «Вокруг теоремы Виета»

57 Ребята, вы сегодня молодцы! До новых встреч!

58 1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

59 х1х1 х2х2 х 1 х 2 х 1 +х 2 уравнение ,5-0, (х-2)(х+5)=0 Действительных корней нет ,40,82, Х 2 может быть любым числом 5-54 Данное квадратное уравнение не является приведённым! Д

60 К середине XVI века в Европе уже успешно применяли буквы для обозначения неизвестных и специальные значки для некоторых операций и отношений. Но долго никто не догадывался, что огромный шаг можно будет сделать, если условиться обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Впервые это сделал знаменитый французский учёный Франсуа Виет (1540 – 1603), которого именно за это новшество называют «отцом алгебры». Сам «отец алгебры» не признавал слово «алгебра», считал его языческим, варварским. То, чем он занимался, Франсуа Виет называл «аналитическим искусством»

61 Посредством уравнений, теорем Он уйму всяких разрешал проблем: И засуху предсказывал и ливни. Поистине его познанья дивны. Д. Чосер (Джефри Чосер (1340 – 1400) – английский поэт)

62 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме. Кроссворд