ОПР 1. Множество, в котором нет ни одного элемента называется пустым множеством. Обозначают: Ø Множество – неопределяемое понятие. Говорят: набор, совокупность, - презентация

1 ОПР 1. Множество, в котором нет ни одного элемента называется пустым множеством. Обозначают: Ø Множество – неопределяемое понятие. Говорят: набор, совокупность, система и др. ОПР 2. Множества А и В называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. ОПР 3. Если все элементы множества В принадлежат множеству А то В называется подмножеством множества А. Обозначают: В А. ОПР 4. Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого конечного числа элементов. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным. ОПР 5. Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел, т.е. если А ~ N. § 1. Множества. Вещественные числа Как можно задать множество? Числовые множества

2 пример 1Является ли множество Z счетным? Z: … -n n … N: … сопоставили пример 2 Является ли множество Q счетным? 1/1 -1/1 1/2 -1/2 1/3 -1/3 … 0 2/1 -2/1 2/2 -2/2 2/3 -2/3 … 3/1 -3/1 3/2 -3/2 3/3 -3/3 … 4/1 -4/1 4/2 -4/2 4/3 -4/3 … 5/1 -5/1 5/2 -5/2 5/3 -5/3 … … Q ~ N 2n 2n+1 …

3 Вещественное число – это бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком + или -. Свойства: 1.Упорядоченности. 2.Свойство полноты 3.Свойство плотности Модуль – расстояние – абсолютное значение вещественного числа Свойства: 1.| x + y | | x | + | y | 2.| x - y | | x | - | y | 3.| x. y | = | x |. | y | 4.| x / y | = | x | / | y | | x | = { x, x 0 -x, x

4 ОПР 6. Множество вещественных чисел { x } называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что любой элемент x из множества { x } будет меньше числа М. ОПР 6*. { x } называется ограниченным снизу, если m - нижняя граница множества { x } ОПР 7. Наименьшая из верхних границ называется точной верхней границей или супремумом множества { x } М = sup{ x } Наибольшая из нижних границ называется точной нижней границей или инфинумом множества { x } m = inf { x } М называется верхней границей Свойства sup { x } и inf { x }. sup { x }inf { x } 1. x { x } x sup { x } 2. ε >0 x { x }: x > sup { x } – ε Дописать!

5 Теорема 1 (Бернарда Больцано) о существовании sup и inf числового множества Если множество X={x} не пусто и ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу (ДОКАЗАТЬ)