С. К. ГИРЛИН. УДК 517.9(075.8) ББК 22.161.61 Г 51 Печатается по решению ученого совета Крымского гуманитарного университета ( протокол 8 от 31 марта 2010. - презентация

1 С. К. ГИРЛИН

2 УДК 517.9(075.8) ББК Г 51 Печатается по решению ученого совета Крымского гуманитарного университета ( протокол 8 от 31 марта 2010 г.) Рецензенты : Игнатенко Н. Я., доктор педагогических наук, профессор, первый проректор РВУЗ « Крымский гуманитарный университет » ( г. Ялта ); Яковец В. П., доктор физико - математических наук, профессор, проректор университета менеджмента образования АПН Украины ( г. Киев ). Гирлин С. К. Г 51 Дифференциальные уравнения. Изучим самостоятельно : Учебно - методическое пособие для студентов математических специальностей / Гирлин С. К. - Симферополь : ИТ « Ариал », – 72 с. ISBN УДК 517.9(075.8) ББК © Гирлин С. К., 2014 ISBN © ИТ « АРИАЛ », 2014

3 Автор учебно-методического пособия: Гирлин Сергей Константинович ( РФ ) – Заслуженный работник науки и образования Российской Академии Естествознания ( РАЕ ), Почетный доктор наук и профессор РАЕ, профессор кафедры математики, теории и методики обучения математике Института экономики и управления РВУЗ « Крымский гуманитарный университет » ( г. Ялта, Республика Крым, РФ ), в 2014 г. Европейским научно - промышленным консорциумом награжден медалью имени В. Лейбница за признанный мировым сообществом вклад в развитие технических и физико - математических наук.

4 СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Программа курса « Дифференциальные уравнения » 1.1 Тематические план изучения дисциплины для студентов дневной формы обучения 1.2 Тематические план изучения дисциплины для студентов заочной формы обучения 1.3 Программный материал по темам курса 2. Методические указания по изучению тем дисциплины 3. Общие понятия. Иллюстративные доказательства основных теорем курса 4. Образцы решений задач

5 5. Вопросы для самопроверки 6. Критерии оценивания знаний и умений студентов 7. Задачи для контрольных работ 8. Перечень и содержание экзаменационных заданий 8.1 Перечень теоретических вопросов 8.2 Задачи, выносимые на зачет или экзамен 8.3 Образец экзаменационного билета 9. Рекомендуемая литература

6 Теория обыкновенных дифференциальных уравнений – один из основных инструментов математического естествознания. Эта теория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности ( процесс называется детерминированным, если все его будущее развитие и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время ), конечномерности ( процесс называется конечномерным, если число параметров, нужных для описания его состояния, конечно ) и дифференцируемости ( изменение состояния процесса со временем описывается дифференцируемыми функциями ). Курс « Дифференциальные уравнения » является одним из важнейших курсов, имеющих большое значение в общепрофессиональной и методологической подготовке студентов. Знание этого курса поможет студентам создавать и исследовать математические модели различных реальных процессов.

7 Данное пособие позволит самостоятельно изучить теоретический курс дисциплины « Дифференциальные уравнения » и научиться решать дифференциальные уравнения, являющиеся важнейшим аппаратом математического моделирования многих реальных процессов. Для более наглядного доказательства теорем предложен новый методический прием – репрезентативное доказательство. Пособие может оказаться полезным и преподавателям высших учебных заведений. В пособии приводятся тематические планы изучения дисциплины для студентов дневной и заочной форм обучения, программный материал по темам курса, методические указания по изучению тем дисциплины, формулировки определений основных понятий и теорем, причем доказательства некоторых теорем проводятся с использованием нового способа математических рассуждений – репрезентативно - иллюстративного, а также рассматриваются многие другие вопросы, указанные в Содержании пособия.

8 При изучении доказательств теорем ( и не только настоящего пособия ) автор настоятельно рекомендует студентам пользоваться предложенными им репрезентативным, иллюстративным и репрезентативно - иллюстративным методами математического рассуждения. C уть репрезентативного метода доказательства заключается в том, что доказательство некоторых свойств, присущих объектам рассматриваемого класса объектов, проводится с использованием некоторых конкретно выбранных объектов из рассматриваемого класса – представителей класса ( при этом свойствами выбранных объектов, не присущими всем объектам рассматриваемого класса, нельзя пользоваться ). Количество выбранных представителей определяется лишь поставленной целью использования репрезентативного рассуждения ( доказательства ): сделать рассуждение для нашей интуиции более понятным и наглядным, подкрепляя дедуктивное рассуждение индуктивным. Важность применения индуктивных рассуждений подчеркивал выдающийся американский математик и педагог Д. Пойа : « Индукция изменила терминологию, выяснила понятия. Мы можем проиллюстрировать и

9 эту сторону процесса, т. е. индуктивное выяснение понятий, подходящим небольшим математическим примером. Вот ситуация, не столь уж нечастая в математическом исследовании : теорема уже сформулирована, но мы должны придать более точный смысл терминам, в которых она сформулирована, чтобы сделать ее безукоризненно правильной. Это, как мы увидим, может быть удобно сделано с помощью индуктивного процесса ». Кроме того, репрезентативный метод может помочь выявить свойства, являющиеся справедливыми не для всех объектов или элементов рассматриваемого класса, а лишь для элементов некоторого подкласса. А это дает возможность сформулировать новую ( ранее неизвестную теорему ). Заметим, что репрезентативным размышлением ( столь же строгим, как и обычное ) пользовался при решении задач еще Диофант, правда, на интуитивном уровне ( поскольку он не сформулировал принципов этого размышления ). Для более наглядного изложения доказательство теоремы можно сопровождать иллюстрациями на примерах конкретно выбранных объектов ( представителей ). Эти иллюстрации заключаются в двойные фигурные скобки и не являются составной частью строгого доказательства.

10 У ч е б н о е и з д а н и е ГИРЛИН Сергей Константинович Дифференциальные уравнения. Изучим самостоятельно. Учебно - методическое пособие для студентов математических специальностей Формат 60 х 84/16. Усл. печ. л. 4,2. Тираж 300 экз. Зак. 15/06. ИЗДАТЕЛЬСТВО ТИПОГРАФИЯ « АРИАЛ » , Республика Крым, г. Симферополь, ул. Декабристов, 21, оф. 216, Свидетельство субъекта издательского дела ДК 3562 от г. Е -mail: Отпечатано с оригинал - макета в типографии ФЛП Бражниковой Н. А , Республика Крым, Симферопольский р - н, пгт Гвардейское, ул. Н - Садовая, 22 тел. (0652) , Е -mail: Контактные данные Гирлина С. К.: +38(0654) ( дом. тел.), +7 (978)