Проектирование и технология электронной компонентной базы Лектор: доц. каф. ТП и МЭТ Ситанов Д.В. - презентация

1 Проектирование и технология электронной компонентной базы Лектор: доц. каф. ТП и МЭТ Ситанов Д.В.

2 Литература: 1. С. Датта. Квантовый транспорт от атома к транзистору. –М., –Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, с. 2. Д.И. Рыжонков, В.В. Лёвина, Э.Л. Дзидзигури. Нанометериалы: учебное пособие. –М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, с. 3. А.И. Гусев. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии. –М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 4. Н.Г. Рамбиди. Нанотехнологии и молекулярные компьютеры. –М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 5. А.С. Давыдов. Квантовая механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, – 748 с страница проф. С. Датта (Supriyo Datta) портал НОР (Нанотехнологического общества России). 8. и т.д.

3 Хотелось бы вспомнить Р. Феймана … 29 декабря 1959 г. Нобелевский лауреат Р.Фейнман прочел в Калифорнийском университете свою знаменитую рождественскую лекцию «Там, внизу, много места». Два подхода к созданию наноматериалов: «снизу-вверх» и «сверху-вниз». При изучении электрического сопротивления малых объектов подход «от малого к большому» отличается от стандартного подхода «от большого к малому»

4 Для макроскопических объектов вполне справедливо: закон Ома Типичная структура, с которой мы будем работать - это простой вариант нано транзистора, для которого максимальный кондактанс является фундаментальной постоянной:

5 Диаграмма энергетических уровней Начнем с простого: Попытаемся понять, почему сила тока I начинает возрастать в тот момент, когда напряжение на затворе транзистора превысит V T

6 Диаграмма энергетических уровней Разрешенные уровни энергии, которые могут быть заняты электронами в активной части прибора Положительное напряжение на затворе V G смещает энергетические уровни вниз, в то время как значение электрохимического потенциала µ зафиксировано контактами истока и стока, находящимися в равновесии друг с другом (V D = 0).

7 Равновесная функция Ферми: Функция Ферми, среднее число электронов, заполняющих состояние с энергий E в равновесии с электрохимическим потенциалом электродов µ

8 Проводимость n-типа:

9 Проводимость р-типа:

10 Причина возникновения электрического тока Пусть V D положительно, тогда: Положительное напряжение V D, приложенное к стоку, понижает его электрохимический потенциал. Контакты истока и стока стремятся установить разные распределения Ферми в канале, и при этом он остается в промежуточном (неравновесном) состоянии.

11 Уравнения баланса для одноуровневой модели Рассмотрим простую одноуровневую систему, смещенную таким образом, что её уровень энергии ε находится между электрохимическими потенциалами двух контактов. Равновесию с контактом 1 соответствует функция f 1 (ε), а контакту 2 – f 2 (ε), где f 1 и f 2 - функции Ферми истока и стока, определяемые уравнениями : Входящие и выходящие токи электронов на границах между одноуровневым каналом и истоком и стоком: простая иллюстрация баланса

12 Ток истока: Ток стока: N – количество электронов канала, q – заряд электрона, константы и определяют скорости ухода электрона, первоначально заполнявшего уровень ε на контакты истока и стока. Эти величины имеют размерность обратного времени (частоты), так что γ 1 и γ 2 имеют размерность энергии.

13 Ток в одноуровневой модели В стационарном состоянии результирующий поток, направленный внутрь канала или из него, равен нулю : 1. Ток не возникает, если. Итак: 2. На уровне, лежащем гораздо ниже обоих электрохимических потенциалов µ 1 и µ 2, имеет место равенство, поэтому этот уровень не дает вклада в электрический ток. 3. Точно так же не вносит вклад в ток уровень, который лежит гораздо выше обоих потенциалов µ 1 и µ 2 и имеет место равенство:. 4. Электрический ток возникает только в том случае, когда уровень находится в пределах нескольких k B T в окрестности µ 1 и µ 2, мы имеем при этом:.

14 Входящий и исходящий потоки Это разность между входящим и выходящим токами из истока и стока соответственно. Выходящие токи обосновать легко, поскольку [Дж/Дж. с] определяет скорость, с которой электрон, изначально занимавший уровень ε, вылетает в контакт истока (он всего один). Сложнее обосновать выражение для входящего тока поскольку в контактах имеется множество электронов в различных состояниях, каждый из которых стремится заполнить одно состояние внутри канала. смотри термодинамические аргументы

15 Термодинамические аргументы а) Если бы канал находился в равновесии с истоком, то результирующий поток был бы равен нулю, т.е. входящий ток был бы равен выходящему току. Но в состоянии равновесия последний равен, так как среднее число электронов N равно f 1. б) В отсутствии равновесия N отличается от f 1, но входящий ток остается неизменным, поскольку он зависит только от условий внутри контактов, которые также остаются неизменными (следует обратить внимание на то, что выходящий ток изменяется, образуя полный ток).

16 Еще раз о кванте кондактанса … Запишем выражение силы тока для этого устройства: Пусть: Тогда: если: ?!

17 К вопросу эффекта уширения уровня Эффект уширения уровня сопровождает любое взаимодействие с ним. Учет уширения должен привести к выходу части уровней за пределы интервала энергии, границами которого являются µ 1 и µ 2 в котором происходит протекание тока. В результате сила тока уменьшается на коэффициент: Здесь- эффективная ширина уровня, а С – численная константа Учтем эффект уширение уровня: Итак, кондактанс действительно достигает постоянной величины, независимой от силы взаимодействия канала с контактами

18 К вопросу эффекта уширения уровня Условное обозначение плотности состояний Dε до (а) и после (б) установления взаимодействия между электродами и каналом (черный цвет– высокая плотность состояний) Известно т.н. «правило сумм», требующее сохранения полного числа состояний. Поэтому проинтегрированный по всем энергиям уровень по-прежнему соответствует только одному электрону. Размытая плотность состояний обычно изображается центрированной при Е = ε лоренцевской функцией, интеграл от которой по всем энергиям равен единице:

19 К вопросу эффекта уширения уровня Исходную дельтаобразную плотность состояний можно представить как предел выражения D ε (E), при стремлении ширины уровня к нулю, причем ширина уровня γ, пропорциональна интенсивности связи. Итак: взаимодействие с контактами ведет к уширению одного дискретного энергетического уровня, что и приводит к непрерывной плотности состояний, задаваемой уравнением:

20 К вопросу эффекта уширения уровня Проинтегрируем выражение для силы тока по распределенным состояниям: (Лоренцева функция * ) учтем, что в Максимальная величина тока получается, если энергетический уровень ε совпадает с µ, равным среднему значению между µ 1 и µ 2. Учитывая, что, можно записать максимальный кондактанс как: если

21 Профиль распределения потенциала В физике известно явление проводимости при малом напряжении, которое определяется исключительно свойствами энергетических уровней в окрестности равновесного электрохимического потенциала µ. Это т.н. « линейный отклик ». Рассмотрим одноуровневый канал с равновесным электрохимическим потенциалом µ, расположенным чуть выше энергетического уровня ε : В зависимости от того, какое влияние на энергетический уровень ε оказывает приложенное напряжение, могут реализоваться различные варианты Таких вариантов два

22 1 вариант: Положение энергетических уровней (а) при прямом смещении (V > 0) и (б) при обратном смещении (V < 0), при условии, что потенциал канала лежит ровно посередине между его значениями в истоке и стоке. При любой полярности смещения (V > 0 или V < 0) энергетический уровень лежит посередине между µ 1 и µ 2, что приводит к равным величинам силы тока для +V и V.

23 2 вариант: ε остается неподвижным относительно электрохимического потенциала истока. Положение энергетических уровней (а) при положительном напряжении (V>0) и (б) при отрицательном напряжении (V

24 Рассмотрим самые общие подходы к расчету потенциала внутри канала. Если бы канал был непроводящим, проблема свелась бы к решению уравнения Лапласа с граничными условиями V = 0 (электрод истока), V= V G (электрод затвора) и V=V D (электрод стока): ε r - относительная диэлектрическая проницаемость, которая может быть пространственно зависимой. Оператор Лапласа - обозначается символом Δ. Функции F он ставит в соответствие функцию в частных производных: NB) Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

25 NB) Например, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется вектор: Градиент обычно обозначается оператора набла - Из определения градиента следует, что: Дивергенция - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное. NB) Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом: то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. NB) Теперь собственно уравнение Лапласа: - функция независимых переменных x 1, x 2, …, x n.

26 Рассмотрим канал как точечный объект, пренебрегая любыми пространственными изменениями потенциала внутри него. Для этого составим схему замещения, содержащую емкости: Емкостная эквивалентная схема для расчета «лапласовского» потенциала активной области U L, возникающего в ответ на внешние напряжения затвора и стока V G и V D. Символ С E обозначает полную электростатическую емкость. Действительный потенциал U может отличаться от U L, если в окрестности энергий µ 1 и µ 2 существует заметная плотность электронных состояний.

27 Из смежных курсов Вы узнали, что наиболее общей характеристикой любого взаимодействия является потенциальная энергия. Потенциальная энергия в канале получается умножением электростатического потенциала V на электронный заряд (-q): Потенциальная энергия (U L ) получена из уравнения Лапласа, т. е. в пренебрежении любым изменением электронного заряда. Такое предположение обоснованно при очень небольшом количестве электронных состояний в окрестности энергий µ 1 и µ 2. Если в канале происходит изменение электронной плотности Δρ, то нам необходимо решать уравнение Пуассона для потенциала: здесь: ε r - относительная диэлектрическая проницаемость, которая может быть пространственно зависимой; ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). Из уравнения Пуассона мы получим электростатический потенциал для данного распределения (изменения) Δ ρ электронной плотности.

28 NB) Уравнение Пуассона - эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает - электростатическое поле, - стационарное поле температуры, - поле давления, - поле потенциала скорости в гидродинамике. Это уравнение имеет вид: Δ оператор Лапласа, f - вещественная или комплексная функция. В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме: и уравнение Пуассона принимает вид: Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа - частный случай уравнения Пуассона).

29 Применительно к нашей ёмкостной эквивалентной схеме запишем изменение заряда как сумму зарядов трех конденсаторов: Потенциальная энергия определяется суммой лапласовского потенциала и дополнительного слагаемого, пропорционального изменению числа электронов: заметим что: Константа определяет изменения потенциальной энергии вследствие появления одного дополнительного электрона. Она называется одноэлектронной энергией электростатического отталкивания.

30 Самосогласованное решение. Итерационный метод. Выражения, учитывающие сдвиг кривой плотности состояний вдоль оси энергии в следствии влияния потенциала U для - силы тока: для силы тока I с учетом размытой плотности состояний (т.е. с учетом уширения уровня) ранее было записано: теперь с учетом влияния потенциала U :

31 Самосогласованное решение. Итерационный метод. Выражения, учитывающие сдвиг кривой плотности состояний вдоль оси энергии в следствии влияния потенциала U для - числа электронов: А) первоначально записывали для N : Б) далее с учетом размытой плотности состояний (с учетом уширения уровня): В) и с учетом влияния потенциала U на сдвиг электронной плотности:

32 Самосогласованное решение. Итерационный метод. I. По числу электронов ( N ) считаем U : II. Обратный расчет N по только что полученному значения U : Критерием расчета является сходимость величины U III. По полученной величине U рассчитываем величину силы тока ( I ): (1) (2)

33 Схема расчета: Оценка U Сравнени е расхожде -ния U c (k B T) если все пока ещё плохо, то если уже все хорошо, то Расчет окончен, можно строить ВАХ

34 Для этого составляют сетку по энергии E и лучше всего с одинаковым приростом, т.е. dE = const и dE~0,004 эВ, например. Рекомендую все величины брать в единицах Си, а энергию в эВ. В отчете необходимо привести а) сетку по энергии (обычно люди считают на количество узлов не менее 500, а то резкого спада зависимости плотности состояний можно и не получить). б) энергетическую зависимость лоренцевой плотности состояний (таблица и зависимость): Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. 1. Ввод необходимых констант (согласно условия задачи). 2. К вопросу расчета лоренцевой плотности состояний D ε (E): В общем случае мы записывали:, но и говорили, что она приводится центрированной при E = ε, т.е. правомочно в расчетах использовать формулу типа:

35 Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Далее необходимо посчитать Лапласовский потенциал и все остальное в зависимости от общего распределения потенциала в канале, а он (потенциал в канале) будет определяться соотношениями потенциалов затвора (V g ) и стока (V d ). Для этого следует составить сетку напряжений, для которой и будем производить расчет. Понятно, что начало сетки должно идти от нуля, а конец ее должен быть задан из разумных соображений, предполагая, что у нас нанотранзистор и он работает при малых напряжениях. Примером может быть диапазон напряжений от [0В до 1В]. (Не скупитесь на dU, обычно люди берут не менее 100 элементов сетки по напряжению). Итак, в отчете необходимо привести в) используемою сетку напряжений, а затем для неё посчитать: лапласовский потенциал (U L ) и за одно и электрохимические потенциалы истока µ 1 и стока µ 2 – они пригодятся для расчетов функций Ферми. Далее все, что считаем, приводим в виде таблиц и (или) графиков в отчет.

36 К вопросу расчета Лапласовского потенциала: Заметим, что V (G,D) – в вольтах, энергия в эВ, следовательно заряд q – в единицах и (q = 1) Обычно даются в виде коэффициентов α G, α D Затвор (G) Сток (D) В ряде случаев лапласовский потенциал может быть представлен приближенным выражением, например, К вопросу расчета электрохимических потенциалов - истока µ 1 и стока µ 2 Обычно в схемах с общим истоком µ 1 = 0, а µ 2 = µ 1 - V D

37 Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Далее для потенциальной сетки проводим итерационную процедуру расчета U и N Пусть U=0, а dU 1e-6 … end); в цикле считаем функцию Ферми для истока (f 1 ) и стока (f 2 ): заметим, так было только в частном случае: Но с учетом смещения и уширения уровня (для этого мы и считали лапласовский потенциал имеем: Получаем матрицу в зависимости от выбранной ранее сетки энергии ( )

38 Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Функцию Ферми считали для того, чтобы посчитать концентрацию носителей зарядов в канале, т.е. N (пока для первого цикла итераций по U, но для всей сетки по энергиям (E): для этого проведем интегрирование (в простейшем случае суммирование по сетке энергий с получением одного единственного значения N, которое скорректируется в итерационном цикле и оптимизированное значение N пойдет для расчета тока I для ВАХ. Но вот так удобнее: Приращение по сетке энергии Суммирование (интегрирование) по сетке энергии

39 Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. По рассчитанному значению N (для i-го U по сетке потенциала) рассчитываем «итерационный новый U» для проверки сходимости итерационного процесса, например, так: Дается в виде коэффициента или Дается в виде коэффициента Далее рассчитывается критерий прекращения итераций по N, т.е. dU: Считаем новый U, тот который мы приняли в начале итераций равным нулю: Сравниваем dU c k В T и при необходимости запускаем следующий итерационный процесс, при этом скорректируются функции Ферми для последующего расчета тока.

40 Пояснения к последовательности расчета и сдачи промежуточных результатов. Если сходимость достигнута и посчитано первое значение распределения потенциала внутри канала (первая точка по сетке потенциала), то считаем для его величину тока: или ! И в результате всего этого мы получили лишь 1 току ВАХ передвигаемся на следующую точку по сетке напряжений и повторяем расчет в результате получаем зависимость тока от величины самосогласованного потенциала внутри канала (напряжения стока).

41 Кулоновская блокада Рассмотрим канал с двумя вырожденными по спину уровнями, содержащий в нейтральном зарядовом состоянии только один электрон (N 0 =1 ). Ожидаемая уширенная плотность состояний:

42 Кулоновская блокада При определенных условиях вместо одного вырожденного пика плотность состояний расщепляется на две части, соответствующие спину вниз и спину вверх, разделенные одноэлектронной энергией электростатического отталкивания Uo. Что же определяет величину U 0 ? Это составляет ~ эВ, если R = 5 нм, а ε r = 10.