О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик 5 века Прокл и другие. Легенда. - презентация

1 О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик 5 века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывали другие, сто быков, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов.

2 Пребудет Вечной истина, как скоро Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношение Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За свет луча, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

3 Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно, пользовались этим отношением для определения прямых углов при построении зданий. На протяжении веков были даны многочисленные доказательства теоремы Пифагора, их существует более 150. a b c

4 египетскими пифагоровыми тройками Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами называют египетскими, а тройки целых чисел, для которых выполняется соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, – пифагоровыми тройками. Проверь, являются ли пифагоровыми следующие тройки чисел: 3, 4, 5 5, 12, 13 7, 24, 25? Придумай два-три примера египетских треугольников, стороны которых образуют пифагоровы тройки.

5 Теорема Пифагора и способы ее доказательства В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Рассказывают, что в честь этого открытия Пифагор принес в жертву 100 быков.

6 Доказательство теоремы Пифагора по косинусу Построим из прямого угла С высоту СD По определению косинуса Cos α= AD:AC=AC:AB AB*AD=AC Аналогично: Cos β=BD:BC=BC:AB Складывая полученные равенства почленно, и отмечая, что АС 2 +BС 2= AB(AD+DB)=AB 2 C a D A B b c α β

7 b a c S1 S2 Опустим высоту на гипотенузу C.Площадь треугольника -S, разбивается на 2 Ему подобных с площадями S1 и S2. Площади треугольников относятся как Квадраты их гипотенуз. Доказательство теоремы Пифагора по площади S1:S2:S=a 2 : b 2 :c 2 НО! S1+S2=S,то есть a 2 + b 2 + c 2

8 Доказательство теоремы Пифагора по Басхари c a b Это прямоугольный треугольник 0,5ab (b-a) 2 0,5 ab Иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие.

9 b A B C a c F D E Доказательство теоремы Пифагора методом Гофмана и Мёльманна Метод Гофмана Построим треугольник ABC с прямым углом С Построим BF=CB, BF CB Построим BE=AB, BE AB Построим AD=AC, AD AC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2 а 2 +1/2b 2 =1/2 с 2 чтд Соответственно: а 2 + а 2 + b2 =с =с 2

10 ослиный мост Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, бегство убогих или elefuga- бегство убогих,так как некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому ослами, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же ветряной мельницей, составляли стихи вроде Пифагоровы штаны на все стороны равны, рисовали карикатуры.

11

12 Найдите площадь четырехугольника АВСD

13 По данным рисунка найти неизвестную сторону четырехугольника.

14 ЗАПОВЕДИ ПИФАГОРА Мысль – превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (не живи праздно). Уходя, не оглядывайся (перед смертью не цепляйся за жизнь). По торной дороге не ходи (следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (поощряй людей не к праздности, а к добродетели и труду).