Проект по математике Руководитель проекта: учитель математики Пласкунова Надежда Анатольевна Выполнил: ученик 10 А класса Чуриков Сергей Юрьевич. - презентация

1 Проект по математике Руководитель проекта: учитель математики Пласкунова Надежда Анатольевна Выполнил: ученик 10 А класса Чуриков Сергей Юрьевич

2 Выполнил: ученик 10 А класса Чуриков Сергей Юрьевич Руководитель проекта: учитель математики Пласкунова Надежда Анатольевна

3 Много веков геометрия во всех своих основах казалась наукой, совершенно застывшей в ее древних эллинских формах. Ученых всех времен интересовало доказательство или опровержение V постулата Евклида, одного из основных для его геометрии. В XIX веке Николай Иванович Лобачевский одним из первых доказал возможность существования геометрии, отличной от Евклидовой. Его идеи привели к широкой и многообразной эволюции геометрии. Изучение этой геометрии способствует лучшему пониманию законов физического пространства, т.к. геометрия Евклида описывает пространство приближенное, идеальное. Геометрия Лобачевского более точная, она учитывает кривизну пространства-времени. В школе мы изучаем геометрию Евклида. А живем мы в какой геометрии? Неевклидова геометрия - это другая геометрия, отрицающая Евклидову? Как новые геометрические идеи повлияли на развитие естествознания? Как развиваются неевклидовы геометрии? Исследованию этих вопросов посвящен этот проект. В процессе работы были рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, рассмотрены сферы её применения в реальной жизни. Для освещения основных положений изучалась специальная литература, для доказательства противоречивости рассмотрены простейшие модели, на которых справедлива геометрия Лобачевского.

4 Геометрия- одна из древнейших наук. Её возникновение связано с практическими занятиями человека.

5 Основные принципы дедуктивного построения науки впервые были сформулированы Аристотелем. Он считал, что доказывая то или иное утверждение, необходимо опираться на ранее доказанные. Из этого следует, что существуют утверждения, с которых начинается построение науки. Такие утверждения называются аксиомами и не требуют доказательств.

6 Основываясь на этих утверждениях, Евклид создал свой труд «Начала», в котором привел основные аксиомы и постулаты.

7 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.

8

9 Через точку P, не лежащую на данной прямой R, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих R и находящихся с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние x, y, которые и называются параллельными прямой R в смысле Лобачевского.

10 Сумма углов всякого треугольника меньше pi и может быть сколь угодно близкой к нулю.

11 Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Но эта модель является локальной интерпретацией геометрии, неспособной отобразить всю плоскость Лобачевского.

12

13 Плоскостью служит внутренность круга, прямой хорда круга без концов, а точкой точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды.

14 В модели Пуанкаре в круге за плоскость Лобачевского принимается внутренность круга (изображено на иллюстрации) в евклидовом пространстве; граница данного круга (окружность) называется «абсолютом». Роль геодезических прямых выполняют содержащиеся в этом круге дуги окружностей (a,b,b'), перпендикулярных абсолюту, и его диаметры; роль движений преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.

15 Сферическая геометрия- геометрия положительной кривизны.

16 В наши дни геометрия Лобачевского используется в космонавтике для прокладывания дальних маршрутов, вычисления траектории полета, в современной физике и во многих других естественных науках.

17 Хотелось бы остановиться на эволюции принципа относительности в физике и её связи с геометрией. Теория относительности – теория, описывающая универсальные пространственно- временные свойства физических процессов.

18 Миф первый. Геометрия Лобачевского не имеет ничего общего с Евклидовой. Миф второй. В теории Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Миф третий. Геометрия Лобачевского - единственная неевклидова геометрия. Миф четвертый. Геометрия Лобачевского не применима в реальной жизни. Миф пятый. Лобачевский первым создал неевклидову геометрию.

19 В процессе работы рассмотрены основные положения геометрии Лобачевского, доказана её непротиворечивость, указаны некоторые сферы её применения в реальной жизни: в физике( в частности астрономии и космонавтике) и многих других естественных науках. Работа показывает существование геометрии, отличной от Евклидовой, ее суть и развитие. Изучая литературу я понял,что из неевклидовой геометрии пошел новый научный замысел. В прежние времена одна научная теория сменяла другую, стирая прежнюю. Теперь стала действовать другая схема: теория, объясняющая явления по существу, но все же с дефектами в отдельных пунктах, заменяется более общей, содержащей параметры, при частных значениях которых она возвращается к установившейся. На основе идей Н.И. Лобачевского геометрия разрослась в огромное здание, в котором, изучаемая нами, геометрия Евклида составляет основной камень в его фундаменте. Неевклидова геометрия почти полностью решила задачу обоснования геометрии Евклида и дала схему обоснования всякой дедуктивной науки. Неевклидова геометрия получила применение в анализе и теории функций –одном из основных вопросов теории познания. Она в широком смысле составляет базу важнейших учений современной физики. Развитие неевклидовой геометрии продолжается. Поставленная перед проектом цель достигнута.

20 1. Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. – М.: УРСС, Башмакова И.Г. Как возникла геометрия. В кн. ДЭ, 2-е изд. Т С Иовлев Н. Н. Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. М.-Л.: Гиз., Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. – М: Гостехиздат, Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. – М.: Изд-во «Знание», Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: «Мир», Кутузов Б.В. Геометрия Лобачевского и элементы оснований геометрии. – М.: Учпедгиз, Сосов Е.Н. Геометрия Лобачевского и её применение в специальной теории относительности. – Казань: Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения / 2-е изд. М.: ГИФМЛ, 1961.