Исследовательская работа «Симметрия вокруг нас» Выполнил ученик 9 класса МБОУ «Егорьевская СОШ» Басов Иван 2013г. - презентация

1 Исследовательская работа «Симметри я вокруг нас» Выполнил ученик 9 класса МБОУ «Егорьевская СОШ» Басов Иван 2013 г.

2 Общие сведения Понятие симетрии Понятие симетрии Симметри я в геометрии Симметри я в геометрии Симметри я в физике Симметри я в физике Симметри я в биологии Симметри я в биологии Симметри я в химии Симметри я в химии Симметри я в высшей математике Симметри я в высшей математике Симметри я в архитектуре Симметри я в архитектуре

3 Понятие симетрии Вокруг нас существует огромное количество предметов, обладающих самыми разными свойствами: цветом, твердостью, упругостью, формой и т.д. В данном сообщении мы рассмотрим с вами одно замечательное свойство, которым обладают многие тела как в пространстве, так и на плоскости – симетри я. Для начала выясним, что из себя представляет симетри я а научном понимании это слова! Симме́три́я (др.-греч. συμμετρία «соразмерность», от μετρέω «меряю»), в широком смысле соответствие, неизменность (инвариантность), проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях (например: положения, энергии, информации, другого). Так, например, сферическая симетри я тела означает, что вид тела не изменится, если его вращать в пространстве на произвольные углы (сохраняя одну точку на месте). Двусторонняя симетри я означает, что правая и левая сторона относительно какой- либо плоскости выглядят одинаково. Нарушение или отсутствие симетрии называется аритмией.

4 Симметри я в геометрии Давайте рассмотрим симетрию с геометрической точки зрения. Геометрическая симетри я это наиболее известный тип симетрии для многих людей. Геометрический объект называется симетричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг повёрнутый вокруг своего центра будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Поэтому круг называется симетричным относительно вращения (имеет осевую симетрию). Виды симетрий возможных для геометрического объекта, зависят от множества доступных геометрических преобразований и того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования.

5 Виды геометрической симетрии Зеркальная Зеркальная Осевая Осевая Вращательная Вращательная Центральная симетри я Центральная симетри я Скользящая симетри я Скользящая симетри я Винтовая симетри я Винтовая симетри я

6 Зеркальная симетри я Зеркальная симетри я или отражение движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства просто плоскостью). Зеркальная симетри я это тип симетрии объекта, когда объект при операции отражения переходит в себя. Это математическое понятие в оптике описывает соотношение объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале. Проявляется во многих законах природы (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведении).

7 Осевая симетри я Осевая симетри я. Фигура называется симетричной относительно прямой А, если для каждой точки фигуры симетричная ей точка относительно прямой А также принадлежит этой прямой.

8 Вращательная симетри я Вращательная симетри я термин, означающий симетрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений m-мерного евклидова пространства. Собственными вращениями называются разновидности изометрии, сохраняющие ориентацию. Таким образом, группа симетрии, отвечающая вращениям, есть подгруппа группы E+(m) (см. Евклидова группа). Трансляционная симетри я может рассматриваться как частный случай вращателиной вращение вокруг бесконечно-удалённой точки. При таком обобщении группа вращателиной симетрии совпадает с полной E+(m). Такого рода симетри я неприменима к конечным объектам, поскольку делает всё пространство однородным, однако она используется в формулировке физических закономерностей.

9 Вращательная симетри я Совокупность собственных вращений вокруг фиксированной точки пространства образуют специальную ортогональную группу SO(m) группу ортогональных матриц m×m с определителем, равным 1. Для частного случая m = 3 группа носит специальное название группа вращений. В физике инвариантность относительно группы вращений называется изотропностью пространства (все направления в пространстве равноправны) и выражается в инвариантности физических законов, в частности, уравнений движения, относительно вращений. Теорема Нётер связывает эту инвариантность с наличием сохраняющейся величины (интеграла движения) углового момента.

10 Центральная симетри я Центра́линой симе́трией (иногда центра́линой ниве́россией) относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X, что A середина отрезка XX. Центральная симетри я с центром в точке A обычно обозначается через Z_A, в то время как обозначение S_A можно перепутать с осевой симетрией. Фигура называется симетричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симетричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симетрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает централиной симетрией. Другие названия этого преобразования симетри я с центром A. Центральная симетри я в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

11 Скользящая симетри я Скользящая симетри я изометри я евклидовой плоскости. Скользящей симетрией называют композицию симетрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (этот вектор может быть и нулевым). Скользящую симетрию можно представить в виде композиции 3 осевых симетрий (теорема Шаля).

12 Винтовая симетри я Винтовая симетри я это симетри я объекта относительно группы преобразований, являющихся композицией преобразования поворота объекта вокруг оси и переноса его вдоль этой оси. Примером из биологии может послужить вирус табачной мозаики.

13 Симметри я в физике Симметри я (симетрии) одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. Симметрии, учитываемые в физике, довольно разнообразны, начиная с симетрий обычного трёхмерного «физического пространства» (такими, например, как зеркальная симетри я), продолжая более абстрактными и менее наглядными (такими как калибровочная инвариантность). Исторически использование симетрии в физике прослеживается с древности, но наиболее революционным для физики в целом, по-видимому, стало применение такого принципа симетрии, как принцип относительности (как у Галилея, так и у Пуанкаре Лоренца Эйнштейна), ставшего затем как бы образцом для введения и использования в теор физике других принципов симетрии (первым из которых стал, по-видимому, принцип общей ковариантности, являющимся достаточно прямым расширением принципа относительности и приведшего к общей теории относительности Эйнштейна).

14 Симметри я в физике. Теорема Нётер Согласно этой теореме отдельному виду симетрии соответствует отдельный закон сохранения Симметри я в физике Преобразование Соответствующая инвариантность Соответствующий закон сохранения Трансляции времени Однородность времени …энергии C, P, CP и T-симетрии Изотропность времени …чётности Трансляции пространства Однородность пространства …импульса Вращения пространства Изотропность пространства …момента импульса Группа Лоренца Относительность Лоренц-инвариантность …4-импульса ~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность…заряда

15 Симметри я в физике. Суперсиметри я. Суперсиме́три я или симетри я Ферми́ Бозе́ гипотетическая симетри я, связывающая бозоны и фермионы в природе. Абстрактное преобразование суперсиметрии связывает бозонное и фермионное квантовые поля, так что они могут превращаться друг в друга. Образно можно сказать, что преобразование суперсиметрии может переводить вещество во взаимодействие (или в излучение), и наоборот. По состоянию на начало 2009 года суперсиметри я является физической гипотезой, не подтверждённой экспериментально. Совершенно точно установлено, что наш мир не является суперсиметричным в смысле точной симетрии, так как в любой суперсиметричной модели фермионы и бозоны, связанные суперсиметричным преобразованием, должны обладать одинаковыми массой, зарядом и другими квантовыми числами (за исключением спина). Данное требование не выполняется для известных в природе частиц. Предполагается, тем не менее, что существует энергетический лимит, за пределами которого поля подчиняются суперсиметричным преобразованиям, а в рамках лимита нет. В таком случае частицы-супер партнёры обычных частиц оказываются очень тяжёлыми по сравнению с обычными частицами. Поиск супер партнёров обычных частиц одна из основных задач современной физики высоких энергий. Ожидается, что Большой адронный коллайдер сможет открыть и исследовать суперсиметричные частицы, если они существуют, или поставить под большое сомнение суперсиметричные теории, если ничего не будет обнаружено.

16 Трансляционная симетри я Трансляционная симетри я тип симетрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции. Например, однородная среда совмещается сама с собой при сдвиге на любой вектор, поэтому для неё свойственна трансляционная симетри я. Трансляционная симетри я свойственна также для кристаллов. В этом случае векторы трансляции не произвольны, хотя их существует бесконечное число. Среди всех векторов трансляций кристаллической решётки можно выбрать 3 линейно независимых таким образом, что любой другой вектор трансляции был бы целочисленной-линейной комбинацией этих трёх векторов. Эти три вектора составляют базис кристаллической решётки.

17

18 Симметри я в биологии Симметри я в биологии это закономерное расположение подобных (одинаковых, равных по размеру) частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симетрии. Тип симетрии определяет не только общее строение тела, но и возможность развития систем органов животного. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симетрии. Если тело животного можно мысленно разделить на две половины, правую и левую, то такую форму симетрии называют билатералиной. Этот тип симетрии свойственен подавляющему большинству видов, а также человеку. Если тело животного можно мысленно разделить не одной, а несколькими плоскостями симетрии на равные части, то такое животное называют радиально-симетричным. Этот тип симетрии встречается значительно реже. Асиметри я отсутствие симетрии. Иногда этот термин используется для описания организмов, лишённых симетрии первично, в противоположность диссиметрии вторичной утрате симетрии или отдельных её элементов. Понятия симетрии и асиметрии альтернативны. Чем более симетричен организм, тем менее он асиметричен и наоборот. Небольшое количество организмов полностью асиметричны. При этом следует различать изменчивость формы (например у амёбы) от отсутствия симетрии. В природе и, в частности, в живой природе симетри я не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асиметрии. Например, симетричные листья растений при сложении пополам в точности не совпадают.

19 Виды симетрии в биологии У биологических объектов встречаются следующие типы симетрии: У биологических объектов встречаются следующие типы симетрии: сферическая симетри я симетричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. сферическая симетри я симетричность относительно вращений в трёхмерном пространстве на произвольные углы. аксиальная симетри я (радиальная симетри я, симетри я вращения неопределённого порядка) симетричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. аксиальная симетри я (радиальная симетри я, симетри я вращения неопределённого порядка) симетричность относительно поворотов на произвольный угол вокруг какой-либо оси. симетри я вращения n-го порядка симетричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. симетри я вращения n-го порядка симетричность относительно поворотов на угол 360°/n вокруг какой-либо оси. двусторонняя (билатеральная) симетри я симетричность относительно плоскости симетрии (симетри я зеркального отражения). двусторонняя (билатеральная) симетри я симетричность относительно плоскости симетрии (симетри я зеркального отражения). трансляционная симетри я симетричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние (её частный случай у животных метамерия (биология)). трансляционная симетри я симетричность относительно сдвигов пространства в каком-либо направлении на некоторое расстояние (её частный случай у животных метамерия (биология)). триаксиальная асиметри я отсутствие симетрии по всем трём пространственным осям. триаксиальная асиметри я отсутствие симетрии по всем трём пространственным осям.

20 Метамерия Симметри я вращения n-го порядка

21 Аксиальная симетри я Сферическая симетри я

22 Симметри я в высшей математике Вы́сшая симе́три я (обобщённая симетри я) одно из фундаментальных понятий раздела математики группового анализа. Группа симетрии - некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) это группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом (свойство некоторого класса (множества) математических объектов оставаться неизменными при преобразованиях определённого типа), с композицией (применение одной функции к результату другой) в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симетрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.

23 Симметри я в в высшей математике Группа симетрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симетрий (элементами группы симетрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок). Группа симетрии отрезка в одномерном пространстве содержит два элемента: тождественное преобразование и отражение относительно середины отрезка. Но в двумерном евклидовом пространстве существует уже 4 движения, переводящих заданный отрезок в себя. В трехмерном пространстве отрезок обладает бесконечным множеством симетрий (элементами группы симетрии будут, в частности, повороты на произвольный угол вокруг прямой, содержащей этот отрезок). Группа симетрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симетрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симетрической группе S3. Однако группа симетрии квадрата имеет порядок 8, а симетрическая группа S4 изоморфна группе симетрии правильного тетраэдра. Группа симетрии равностороннего треугольника на плоскости состоит из тождественного преобразования, поворотов на углы 120° и 240° вокруг центра треугольника и отражений относительно его высот. В этом случае группа симетрии состоит из 6 преобразований, которые осуществляют все возможные перестановки вершин треугольника. Следовательно, эта группа изоморфна симетрической группе S3. Однако группа симетрии квадрата имеет порядок 8, а симетрическая группа S4 изоморфна группе симетрии правильного тетраэдра. Группа симетрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента тождественного преобразования. Группа симетрии разностороннего треугольника тривиальна, то есть состоит из одного элемента тождественного преобразования. Если считать, что человеческое тело зеркально симетрично, то его группа симетрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симетричные друг другу правую и левую части. Если считать, что человеческое тело зеркально симетрично, то его группа симетрии состоит двух элементов: тождественного преобразования и отражения относительно плоскости, которая делит тело на симетричные друг другу правую и левую части. Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент) имеет группу симетрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом Произвольное периодическое замощение плоскости (или орнамент) имеет группу симетрии, элементы которой всеми возможными способами совмещают некий фиксированный элемент замощения с каждым конгруэнтным ему элементом Группы точечной симетрии

24 Симметри я в архитектуре Симметри я в искусстве и декоративных ремеслах преобладает на протяжении всей истории. Концепции симетрии применимы в дизайне объектов всех форм и размеров. Но в живописи (в двухмерной композиции) она относительно простая, выявление типов симетрии в трехмерных объектах сложнее, поскольку наше восприятие объекта изменяется, когда мы его рассматриваем с разных сторон. В случае с архитектурой мы не только можем обойти объект со всех сторон, но и пройти сквозь него. Это означает, что архитектура предоставляет уникальную возможность не только видеть симетрию, но «испытать» её, благодаря тому, что она состоит из двух частей: «пустоты» и «твердости». Симметри я в искусстве и декоративных ремеслах преобладает на протяжении всей истории. Концепции симетрии применимы в дизайне объектов всех форм и размеров. Но в живописи (в двухмерной композиции) она относительно простая, выявление типов симетрии в трехмерных объектах сложнее, поскольку наше восприятие объекта изменяется, когда мы его рассматриваем с разных сторон. В случае с архитектурой мы не только можем обойти объект со всех сторон, но и пройти сквозь него. Это означает, что архитектура предоставляет уникальную возможность не только видеть симетрию, но «испытать» её, благодаря тому, что она состоит из двух частей: «пустоты» и «твердости».

25 Симметри я в архитектуре Типы симетрии Сколько существует архитектурных стилей, столько есть типов симетрии. В целом они разделены на две категории: точечные группы и пространственные группы. Точечные группы характеризуются их отношением, по крайней мере, к одному важному ориентиру. Пространственные группы не имеют определенного ориентира. Типы симетрии Сколько существует архитектурных стилей, столько есть типов симетрии. В целом они разделены на две категории: точечные группы и пространственные группы. Точечные группы характеризуются их отношением, по крайней мере, к одному важному ориентиру. Пространственные группы не имеют определенного ориентира. Двусторонняя симетри я в архитектуре, безусловно, наиболее распространенная форма, встречаемая во всех культурах и во все эпохи. В ней две половины композиции зеркально отражают друг друга (пример - фасад Пантеона в Риме). Она может присутствовать не только в масштабе единственного здания, но и в городском пространстве: такой прием может быть найден в дизайне Праса-ду- Комерсиу (Торговая площадь) в Лиссабоне (большая городская площадь, монументальные ворота, широкая торговая улица вне ворот симетричны относительно длинной горизонталиной оси, которая управляет визуалиной перспективой). Двусторонняя симетри я в архитектуре, безусловно, наиболее распространенная форма, встречаемая во всех культурах и во все эпохи. В ней две половины композиции зеркально отражают друг друга (пример - фасад Пантеона в Риме). Она может присутствовать не только в масштабе единственного здания, но и в городском пространстве: такой прием может быть найден в дизайне Праса-ду- Комерсиу (Торговая площадь) в Лиссабоне (большая городская площадь, монументальные ворота, широкая торговая улица вне ворот симетричны относительно длинной горизонталиной оси, которая управляет визуалиной перспективой). Вращательная и отражательная симетрии создают ощущение движения и ритма, акцентируясь на центральную точку архитектурного пространства. Цилиндрическая симетри я в архитектуре может быть найдена главным образом в башнях и колоннах. Вращательная и отражательная симетрии создают ощущение движения и ритма, акцентируясь на центральную точку архитектурного пространства. Цилиндрическая симетри я в архитектуре может быть найдена главным образом в башнях и колоннах. Киральная симетри я, возможно, менее известна, но часто и эффективно используется в архитектуре. Киральная симетри я, возможно, менее известна, но часто и эффективно используется в архитектуре. Осевая симетри я

26 Симметри я в архитектуре Симметри я подобия в настоящее время привлекает большое внимание и хорошо известна, прежде всего, из-за идентификации с фракталами. Спиральная или винтовая симетри я в архитектуре может считаться специальным видом симетрии подобия. Поступательная симетри я попадает в пространственную группу, и после двухсторонней симетрии – это наиболее распространенный тип симетрии в архитектуре. При всем том, в большинстве зданий находится более чем один вид симетрии. К примеру, китайская пагода, в которой есть и цилиндрическая, и симетри я подобия. Осевая и центральная симетрии

27

28 Спасибо за внимание!