Пифагор И теорема Работа ученицы 8 класса «в» Опариной Вероники

Кто такой Пифагор? Пифагор Самосский (570 г. до н. э.) древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно - философской школы пифагорейцев. Бюст Пифагора в Капитолийском музее в Риме

Биография Пифагора Великий ученый Пифагор родился в 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был резчик по драгоценным камням. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправился в Милет, где встретился с другим великим ученым – Фалесом, который посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал, где изучил язык и религию египтян.

Философское учение Учение Пифагора следует разбить на две составляющие части: научный подход к познанию мира и религиозно- мистический образ жизни, проповедуемый Пифагором. Достаточно полные сведения о развиваемых Пифагором представлениях о переселении душ и основанных на них пищевых запретах даёт поэма Эмпедокла «Очищения»переселении душ

В потерянных работах (известных по выдержкам) Аристотель рассматривает Пифагора как основателя полу религиозного культа, который запрещал есть бобы и имел золотое бедро, но не принадлежал к последовательности мыслителей, предшественников Аристотеля. Платон относился к Пифагору с глубочайшим почтением и уважением. Когда пифагореец Филолай впервые опубликовал 3 книги, излагающие основные положения пифагореизма, Платон по совету друзей немедленно их купил за большие деньги.

В акусматах (изречениях) Пифагора содержатся обрядовые наставления: о круговороте человеческих жизней, поведении, жертвоприношениях, погребениях, питании. Акусматы сформулированы лаконично и доступно для понимания любого человека, в них содержатся также постулаты общечеловеческой морали. Более сложная философия, в рамках которой развивалась математика и другие науки, предназначалась для «посвящённых», то есть избранных людей, достойных владеть тайным знанием.

Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний.

Во времена Пифагора теорема звучала так: « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» или « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Пифагоровы тройки c 2 =a 2 +b 2 Они обладают рядом интересных особенностей: один из «катетов» должен быть кратным трём; один из «катетов» должен быть равен четырём; Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. a b c

Способы доказательства теоремы Пифагора Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и др.).Существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и др.). Все доказательства делятся на несколько групп: через площадь, через аксиомы, через подобные треугольники, «экзотические» (например, с помощью дифференциальных уравнений), с помощью дополнения или разложения чертежа…Все доказательства делятся на несколько групп: через площадь, через аксиомы, через подобные треугольники, «экзотические» (например, с помощью дифференциальных уравнений), с помощью дополнения или разложения чертежа…

Самое простое доказательство (a+b) 2 = c 2 +2ab a 2 +2ab+b 2 = c 2 +2ab c 2 = a 2 +b 2

Векторное Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a откуда имеем c = a - b возводя обе части в квадрат, получим c²=a²+b²-2ab Так как a перпендикулярен b, то ab=0, откуда c²=a²+b² или c²=a²+b²

Доказательство Басхары Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата,Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары. В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно: c²=4ab/2+(a-b)² c=2ab+a²-2ab+b² c²=a²+b²c²=4ab/2+(a-b)² c=2ab+a²-2ab+b² c²=a²+b² Что и требовалось доказать.Что и требовалось доказать.

Алгебраическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: AB 2 =AC 2 +BC 2 Доказательство: 1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. 2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC 2. 3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит AB*BD=BC 2. 4) Сложив полученные равенства почленное, получим: AC 2 +BC 2 =АВ*(AD + DB) AB 2 =AC 2 +BC 2.

Доказательство Хоукинса Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В). S CAA' =b²/2, S CBB' =a²/2, S A'AB'B =(a²+b²)/2 Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому : S A'AB'B =c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a²+b²=c², что и требовалось доказать

Доказательство через подобные треугольники Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. a/c=HB/a, b/c=AH/b т.е. a 2 =c*HB, b 2 =c*AH Следовательно a 2 +b 2 =c*(HB+AH)=c 2 Что и требовалось доказать.

Доказательство через равно дополняемость

Доказательство Евклида Все доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE). Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, <FBC = <D + <ABC = <ABD. S ABD = 1/2 S BJLD, S FBC =1/2 S ABFH Тогда S ABD =S FBC, S BJLD =S ABFH. Также доказывается и S JCEL =S ACKG А затем S ABFH +S ACKG = S BJLD +S JCEL = S BCED т.е. a 2 +b 2 =c 2, что и требовалось доказать.

Доказательства методом разложения Доказательство Энштейна Доказательство Нильсена Доказательство Перигаля

Доказательство Бертхера

«Стул невесты» «Стул невесты» (Индия, 9 в н. э.)

Геометрическое доказательство Дано: ABC-прямоугольный треугольник Доказать: BC 2 =AB 2 +AC 2 Доказательство: 1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников: S ABED =2*AB*AC/2+BC 2 /2 3) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна: S ABED = (DE+AB)*AD/2. 4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC 2 /2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC 2 /2= (AC+AB) 2 /2 AB*AC+BC 2 /2= AC 2 /2+AB 2 /2+AB*AC BC 2 =AB 2 +AC 2. Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Теорема Пифагора используется практически везде: в строительстве: для проектирования чертежа крыши дома, создания некоторых видов окон; в астрономии, в работе мобильной связи и в других вещах, которыми мы пользуемся ежедневно. Практическое применение

Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Значение теоремы Пифагора Значение теоремы Пифагора

Пифагоровы штаны – на все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

«…за все его достижения, он получил награду…»