Выполнил : Студент группы К -11 Лысяк Василий

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида : где p, q постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение : Общее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи :

Дискриминант характеристического уравнения D>0 D=0 D<0

Решить дифференциальное уравнение y'' 6y' + 5y = 0. Решение: Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k 1 = 1, k 2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C 1 и C 2 произвольные постоянные.

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид : де p, q постоянные числа ( которые могут быть как действительными, так и комплексными ). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение : Теорема : Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y 0 (x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y 1 (x) неоднородного уравнения :

Метод вариации постоянных Если общее решение y 0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид : Вместо постоянных C 1 и C 2 будем рассматривать вспомогательные функции C 1 (x) и C 2 (x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).

Неизвестные функции C 1 (x) и C 2 (x) определяются из системы двух уравнений :

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как 1) 2) где P n (x) и Q m (x) многочлены степени n и m, соответственно.

Найти общее решение уравнения y'' + y' 6y = 36x Решение Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Правая часть заданного уравнения представляет собой линейную функцию f(x) = ax + b. Поэтому будем искать частное решение в виде Производные равны: Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

Последнее уравнение является тождеством, то есть справедливо для всех x, поэтому приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x в левой и правой части :

Из полученной системы находим: A = 6, B = 1. В результате, частное решение записывается в виде Теперь найдем общее решение однородного дифференциального уравнения. Вычислим корни вспомогательного характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид : Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения выражается формулой